Find the matrix (ai j) which transforms the components of a vector from space axes to body axes. Express ai j in terms of Eulers angles. [Hint: The transformation can be made up of three consecutive rotations by angles theta, phi, psi, about suitable axes, and taken in proper order.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar a matriz $ \left(a_{ij}\right) $ que transforma as componentes de um vetor do sistema de coordenadas do espaço para o sistema de coordenadas do corpo. Isso envolve conceitos de geometria e álgebra linear, especificamente matrizes de rotação e ângulos de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender como as rotações funcionam e como os ângulos de Euler são usados para descrever a orientação de um objeto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma matriz de transformação é usada para mudar as coordenadas de um vetor de um sistema para outro. No nosso caso, queremos ir do sistema de coordenadas do espaço para o do corpo. Para isso, vamos usar rotações consecutivas em torno de três eixos específicos. Essas rotações são descritas pelos ângulos de Euler $ \theta $, $ \phi $, e $ \psi $.

Passo 3

Os ângulos de Euler representam rotações sucessivas em torno de eixos diferentes. Geralmente, seguimos uma ordem específica para essas rotações. Vamos considerar que aplicamos primeiro uma rotação de $ \theta $ em torno do eixo $ z $, depois uma rotação de $ \phi $ em torno do novo eixo $ y’ $, e por fim uma rotação de $ \psi $ em torno do eixo $ z’’ $. Cada uma dessas rotações pode ser representada por uma matriz de rotação.

Passo 4

Vamos definir cada matriz de rotação:
  1. Rotação de $ \theta $ em torno do eixo $ z $:
    theta
  2. Rotação de $ \phi $ em torno do eixo $ y’ $:
    z
  3. Rotação de $ \psi $ em torno do eixo $ z’’ $:
    Rz(theta) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

A matriz de transformação total $ A $ que converte as coordenadas do espaço para as do corpo é o produto dessas três matrizes de rotação na ordem em que aplicamos as rotações. Ou seja:
A

Passo 6

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, multiplicamos $ R_z(\theta) $ por $ R_y(\phi) $:
Rz(theta)
Ry(phi)

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado acima pela matriz $ R_z(\psi) $:
Rz(psi)
A = ( Rz(theta) cdot Ry(phi) ) cdot Rz(psi) = costheta cosphi & -sintheta & costheta sinphi sintheta cosphi & costheta & sintheta sinphi -sinphi & 0 & cosphi cdot cospsi & -sinpsi & 0 sinpsi & cospsi & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz $ \left(a_{ij}\right) $ que transforma as componentes de um vetor do sistema de coordenadas do espaço para o sistema de coordenadas do corpo, expressa em termos dos ângulos de Euler $ \theta $, $ \phi $ e $ \psi $, é:
(aij)

Exercícios relacionados