(a) Determine and .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Temos uma matriz e precisamos determinar e . Aqui, estamos lidando com matrizes de covariância e correlação, que são conceitos importantes em estatística e análise de dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a matriz de covariância em uma matriz de correlação e também como encontrar a raiz quadrada da matriz de variância.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a matriz , que é a matriz de variâncias. A matriz que temos é uma matriz de covariância, onde os elementos na diagonal principal representam as variâncias das variáveis individuais. Então, vamos extrair essas variâncias:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a raiz quadrada da matriz de variância. Como é uma matriz diagonal, a raiz quadrada é simplesmente a matriz com as raízes quadradas dos elementos da diagonal:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de correlação . A matriz de correlação é obtida normalizando a matriz de covariância dividindo cada elemento pelo produto dos desvios padrão das variáveis e . Ou seja:
Vamos aplicar isso para cada elemento da matriz :

Resposta

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(f) if and are independent random variables.