Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias X1, X2, e X3.
(f) 3 X1-4 X2 if X1 and X2 are independent random variables.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a média e a variância da combinação linear onde e são variáveis aleatórias independentes. Aqui, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância de combinações lineares de variáveis aleatórias, além da propriedade de independência que simplifica a covariância entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática da combinação E(3X1 - 4X2) = 3E(X1) - 4E(X2) . A esperança de uma combinação linear de variáveis aleatórias é dada pela soma das constantes multiplicadas pelas respectivas esperanças.
Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da combinação Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2ab,Cov(X,Y) . A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias leva em conta as variâncias individuais e as covariâncias entre elas. A fórmula geral é:
Neste caso, e . Porém, como e são independentes, a covariância .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da variância:
Var(3X1 - 4X2) = 3^2Var(X1) + (-4)^2Var(X2) + 2 cdot 3 cdot (-4) cdot 0
Simplificando:
Var(3X1 - 4X2) = 9Var(X1) + 16Var(X2)

Resposta

A média da combinação é e a variância é .

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