Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias
, e
.
(f)
if
and
are independent random variables.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a média e a variância da combinação linear
onde
e
são variáveis aleatórias independentes. Aqui, vamos usar conceitos de esperança matemática (média) e variância de combinações lineares de variáveis aleatórias, além da propriedade de independência que simplifica a covariância entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática da combinação
. A esperança de uma combinação linear de variáveis aleatórias é dada pela soma das constantes multiplicadas pelas respectivas esperanças.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da combinação
. A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias leva em conta as variâncias individuais e as covariâncias entre elas. A fórmula geral é:
Neste caso,
e
. Porém, como
e
são independentes, a covariância
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da variância:
Simplificando:
Resposta
A média da combinação
é
e a variância é
.