Um sinal, com densidade espectral de potência
, é aplicada à entrada de um filtro, com função de transferência dada por:
Depois, este sinal modula uma portadora em amplitude, com índice de modulação
. Calcule a densidade espectral de potência, a autocorrelação e a potência do sinal modulado. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com sinais e filtros, parte da área de Processamento de Sinais. Precisamos calcular a densidade espectral de potência, a autocorrelação e a potência de um sinal modulado em amplitude (AM). Também vamos precisar entender como um filtro afeta o sinal original e como a modulação altera seu comportamento.
Passo 2
O sinal de entrada tem uma densidade espectral de potência constante, dada por $ S_M(\omega) = M_0 $. Isso significa que o sinal é um ruído branco, com potência igual distribuída em todas as frequências.
Passo 3
Esse sinal passa por um filtro com a função de transferência $ H(\omega) = \frac{\sqrt{2}}{1 + j\omega} $. A função de transferência indica como o filtro altera a amplitude e a fase das diferentes frequências presentes no sinal.
Passo 4
Para encontrar a densidade espectral de potência após o filtro, usamos:
Primeiro, calculamos $ |H(\omega)|^2 $:
Então,
Passo 5
Agora, esse sinal filtrado é usado para modular uma portadora em amplitude com índice de modulação $ \Delta_{AM} = 0,5 $. A modulação em amplitude significa que a amplitude da portadora varia de acordo com o sinal filtrado.
Passo 6
A densidade espectral de potência do sinal modulado em AM, $ S_{AM}(\omega) $, é dada por:
Onde $ \delta $ é a função delta de Dirac e $ \omega_c $ é a frequência da portadora.
Passo 7
Para calcular a potência total do sinal modulado, somamos a potência da portadora e das bandas laterais:
Onde:
E:
Passo 8
Calculando a potência da portadora:
Assumindo $ A = 1 $ para simplificar:
Passo 9
Calculando a potência das bandas laterais:
Primeiro, integramos $ S_{M_{filtrado}}(\omega) $:
Então:
Passo 10
Somando as potências:
Passo 11
Para a função de autocorrelação do sinal modulado, consideramos que:
A autocorrelação $ R_{AM}(\tau) $ é:
Onde $ R_{m_{filtrado}}(\tau) $ é a autocorrelação do sinal filtrado.
Passo 12
Calculando a autocorrelação do sinal filtrado:
Então,
Resposta
A densidade espectral de potência do sinal modulado é:
A função de autocorrelação do sinal modulado é:
E a potência total do sinal modulado é:
Os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência podem ser elaborados utilizando softwares como MATLAB ou Python, plotando as expressões encontradas acima.