Um sinal, com densidade espectral de potência SM(w)=M0, é aplicada à entrada de um filtro, com função de transferência dada por:
H(w)=raiz21+j w
Depois, este sinal modula uma portadora em amplitude, com índice de modulação De. Calcule a densidade espectral de potência, a autocorrelação e a potência do sinal modulado. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com sinais e filtros, parte da área de Processamento de Sinais. Precisamos calcular a densidade espectral de potência, a autocorrelação e a potência de um sinal modulado em amplitude (AM). Também vamos precisar entender como um filtro afeta o sinal original e como a modulação altera seu comportamento.

Passo 2

O sinal de entrada tem uma densidade espectral de potência constante, dada por $ S_M(\omega) = M_0 $. Isso significa que o sinal é um ruído branco, com potência igual distribuída em todas as frequências.

Passo 3

Esse sinal passa por um filtro com a função de transferência $ H(\omega) = \frac{\sqrt{2}}{1 + j\omega} $. A função de transferência indica como o filtro altera a amplitude e a fase das diferentes frequências presentes no sinal.

Passo 4

Para encontrar a densidade espectral de potência após o filtro, usamos:
SMfi
Primeiro, calculamos $ |H(\omega)|^2 $:
|H(omega)|^2
Então,
|H(omega)|^2 = | raiz21 + jomega |^2 = 21 + omega^2

Passo 5

Agora, esse sinal filtrado é usado para modular uma portadora em amplitude com índice de modulação $ \Delta_{AM} = 0,5 $. A modulação em amplitude significa que a amplitude da portadora varia de acordo com o sinal filtrado.

Passo 6

A densidade espectral de potência do sinal modulado em AM, $ S_{AM}(\omega) $, é dada por:
SAM(omega)
Onde $ \delta $ é a função delta de Dirac e $ \omega_c $ é a frequência da portadora.

Passo 7

Para calcular a potência total do sinal modulado, somamos a potência da portadora e das bandas laterais:
PAM = Pc + PLS
Onde:
Pc = A^22
E:
PLS = 2 cdot A^2 De

Passo 8

Calculando a potência da portadora:
Pc = A^22
Assumindo $ A = 1 $ para simplificar:
A = 1

Passo 9

Calculando a potência das bandas laterais:
Primeiro, integramos $ S_{M_{filtrado}}(\omega) $:
SMfi
Então:
integral-infty^infty 2M01 + omega^2 domega = 2M0 pi

Passo 10

Somando as potências:
PAM = 12 + 0,125 M0 pi

Passo 11

Para a função de autocorrelação do sinal modulado, consideramos que:
sAM(t) = [ 1 + De
A autocorrelação $ R_{AM}(\tau) $ é:
RAM(tau)
Onde $ R_{m_{filtrado}}(\tau) $ é a autocorrelação do sinal filtrado.

Passo 12

Calculando a autocorrelação do sinal filtrado:
Rmfi
Então,
RAM(tau) = cos(omegac tau) + 0,25 M0 e^-|tau|

Resposta

A densidade espectral de potência do sinal modulado é:
SAM(omega) = 12 de
A função de autocorrelação do sinal modulado é:
RAM(tau) = cos(omegac tau) + 0,25 M0 e^-|tau|
E a potência total do sinal modulado é:
PAM = 12 + 0,125 M0 pi
Os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência podem ser elaborados utilizando softwares como MATLAB ou Python, plotando as expressões encontradas acima.

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