Considerando o sinal abaixo, modulado em SSB com banda lateral superior, escreva a expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais. Calcule a potência do sinal ISB.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um sinal modulado em SSB (Single Sideband) com banda lateral superior. Nosso objetivo é:
- Escrever a expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais.
- Calcular a potência desse sinal ISB.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre modulação SSB, bandas laterais e como calcular a potência de sinais modulados. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o sinal SSB que você forneceu:
Aqui, $ m(t) $ é o sinal de mensagem, $ w_{c} $ é a frequência da portadora, e $ \phi $ é a fase. O símbolo $ \hat{m}(t) $ representa a transformada de Hilbert de $ m(t) $, que é usada para gerar a banda lateral superior ou inferior.
Passo 3
Na modulação SSB, a ideia é transmitir apenas uma das bandas laterais (superior ou inferior) para economizar largura de banda. Mas o exercício pede para escrever a expressão do sinal que ocupa as duas bandas laterais, o que chamamos de DSB (Double Sideband).
Para obter o DSB, precisamos combinar as duas bandas laterais. Isso significa que vamos somar o SSB com banda lateral superior e o SSB com banda lateral inferior.
Passo 4
Vamos lembrar que o SSB com banda lateral superior é:
E o SSB com banda lateral inferior é:
Passo 5
Agora, para obter o DSB (que é o sinal ISB mencionado no exercício), somamos as duas expressões:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Então, a expressão para o sinal que ocupa as duas bandas laterais é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a potência desse sinal ISB. Para isso, sabemos que a potência média de um sinal $ s(t) $ é dada por:
Onde $ T $ é o período do sinal. No caso de sinais modulados, podemos simplificar usando as propriedades da potência em sinais portadores e modulados.
Passo 8
Aplicando a expressão do $ s_{ISB}(t) $:
Expandindo o quadrado:
Passo 9
Utilizamos a identidade trigonométrica $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $:
Simplificando:
Passo 10
Assumindo que o sinal de mensagem $ m(t) $ tem potência média $ P_m = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} m^2(t) dt $ e que o termo de frequência dupla se anula em média (devido à ortogonalidade das funções seno e cosseno de frequências diferentes), temos:
Resposta
A expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais é:
A potência do sinal ISB é o dobro da potência do sinal de mensagem, ou seja: