Considerando o sinal abaixo, modulado em SSB com banda lateral superior, escreva a expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais. Calcule a potência do sinal ISB.
s(t)=m(t) cos (wc t+phi)-m(t) sen(wc t+phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um sinal modulado em SSB (Single Sideband) com banda lateral superior. Nosso objetivo é:
  1. Escrever a expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais.
  2. Calcular a potência desse sinal ISB.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre modulação SSB, bandas laterais e como calcular a potência de sinais modulados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o sinal SSB que você forneceu:
s(t) = m(t) cos(wc t + phi) - m(t) sin(wc t + phi)
Aqui, $ m(t) $ é o sinal de mensagem, $ w_{c} $ é a frequência da portadora, e $ \phi $ é a fase. O símbolo $ \hat{m}(t) $ representa a transformada de Hilbert de $ m(t) $, que é usada para gerar a banda lateral superior ou inferior.

Passo 3

Na modulação SSB, a ideia é transmitir apenas uma das bandas laterais (superior ou inferior) para economizar largura de banda. Mas o exercício pede para escrever a expressão do sinal que ocupa as duas bandas laterais, o que chamamos de DSB (Double Sideband).
Para obter o DSB, precisamos combinar as duas bandas laterais. Isso significa que vamos somar o SSB com banda lateral superior e o SSB com banda lateral inferior.

Passo 4

Vamos lembrar que o SSB com banda lateral superior é:
sSSB-S(t) = m(t) cos(wc t + phi) - m(t) sin(wc t + phi)
E o SSB com banda lateral inferior é:
sSSB-I(t) = m(t) cos(wc t + phi) + m(t) sin(wc t + phi)

Passo 5

Agora, para obter o DSB (que é o sinal ISB mencionado no exercício), somamos as duas expressões:
sDSB(t) = sSSB-S(t) + sSSB-I(t)
Substituindo as expressões:
sDSB(t) = [m(t) cos(wc t + phi) - m(t) sin(wc t + phi)] + [m(t) cos(wc t + phi) + m(t) sin(wc t + phi)]

Passo 6

Simplificando a expressão:
sDSB(t) = 2 m(t) cos(wc t + phi)
Então, a expressão para o sinal que ocupa as duas bandas laterais é:
sISB(t) = 2 m(t) cos(wc t + phi)

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência desse sinal ISB. Para isso, sabemos que a potência média de um sinal $ s(t) $ é dada por:
s(t)
Onde $ T $ é o período do sinal. No caso de sinais modulados, podemos simplificar usando as propriedades da potência em sinais portadores e modulados.

Passo 8

Aplicando a expressão do $ s_{ISB}(t) $:
sISB(t)
Expandindo o quadrado:
P = 1T integral0^T [2 m(t) cos(wc t + phi)]^2 dt

Passo 9

Utilizamos a identidade trigonométrica $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Simplificando:
P = 4T integral0^T m^2(t) ( 1 + cos(2wc t + 2phi)2 ) dt

Passo 10

Assumindo que o sinal de mensagem $ m(t) $ tem potência média $ P_m = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} m^2(t) dt $ e que o termo de frequência dupla se anula em média (devido à ortogonalidade das funções seno e cosseno de frequências diferentes), temos:
m(t)

Resposta

A expressão para o sinal ISB que ocupa as duas bandas laterais é:
sISB(t) = 2 m(t) cos(wc t + phi)
A potência do sinal ISB é o dobro da potência do sinal de mensagem, ou seja:
P = 2 Pm

Exercícios relacionados