Um sistema barra-esfera é formado por uma barra homogênea de massa
e comprimento
e uma esfera maciça homogênea de massa
e raio
, fixada na extremidade direita da barra. Qual o momento de inércia
desse sistema em relação ao eixo de rotaçảo perpendicular à barra que passa por sua extremidade esquerda, conforme indicado na figura?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem um sistema que é composto por uma barra homogênea e uma esfera maciça presa na extremidade dela. Nosso objetivo é calcular o momento de inércia total desse sistema em relação a um eixo que passa pela extremidade esquerda da barra. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de momento de inércia para objetos simples e usar a teoria do momento de inércia combinado.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na barra. A barra é homogênea, o que significa que sua massa está distribuída de maneira uniforme. A fórmula do momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa por uma das extremidades e perpendicular à barra é:
Aqui, $ M $ é a massa da barra e $ L $ é o comprimento dela.
Passo 3
Agora, vamos para a esfera. A esfera também é homogênea e fixa na extremidade direita da barra. O momento de inércia de uma esfera em relação ao seu próprio centro é:
Onde $ m $ é a massa da esfera e $ R $ é o raio dela.
Passo 4
Mas atenção! A esfera não está girando em torno do seu próprio centro, e sim em torno de um eixo que está a uma distância $ L $ da sua posição. Para ajustar isso, usamos o Teorema de Steiner (ou teorema dos eixos paralelos), que nos diz que o momento de inércia em torno de um eixo paralelo distante $ d $ é:
No nosso caso, $ d = L + R $ (já que a esfera está na extremidade da barra e tem raio $ R $). Então:
Passo 5
Agora, para encontrar o momento de inércia total do sistema barra-esfera, basta somar os momentos de inércia da barra e da esfera:
Resposta
A expressão correta para o momento de inércia do sistema barra-esfera é:
Portanto, a alternativa correta é a (a).