Demonstre que, ao supormos
para uma partícula quântica em um poço de potencial de profundidade infinita, violamos o princípio da incerteza
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a gente supor que $ n = 0 $ para uma partícula quântica num poço de potencial de profundidade infinita, acabamos violando o princípio da incerteza, que é $ \Delta p_{x} \Delta x \geq \frac{\hbar}{2} $. Aqui, estamos lidando com mecânica quântica e, mais especificamente, com conceitos como níveis de energia e o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver, precisamos entender como a posição e o momento da partícula estão relacionados nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um poço de potencial de profundidade infinita. Nesse modelo, a partícula está confinada em uma região com largura $ L $, e fora dessa região o potencial é infinito, ou seja, a partícula não pode existir fora do poço. As energias permitidas para a partícula são quantizadas e dadas por:
onde $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …), $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula e $ L $ é a largura do poço.
Passo 3
Agora, vamos supor que $ n = 0 $. Se substituirmos $ n = 0 $ na fórmula da energia:
Isso nos dá uma energia zero para a partícula. Mas isso já é um sinal de problema, porque uma partícula real não pode ter energia zero nesse contexto.
Passo 4
Além disso, o estado associado a $ n = 0 $ implicaria em uma função de onda constante dentro do poço, já que não haveria variação espacial. A incerteza na posição ($ \Delta x
\Delta p_x $) se tornaria infinita devido à falta de variação na função de onda.
Passo 5
Agora, aplicando o princípio da incerteza de Heisenberg:
Se $ \Delta p_x $ é infinito e $ \Delta x $ é pequeno, o produto $ \Delta p_x \Delta x $ também seria infinito, o que ainda satisfaz a desigualdade. Entretanto, o maior problema está na interpretação física desse estado: uma energia zero não é compatível com a realidade física de partículas confinadas, e a função de onda constante não representa um estado estacionário válido nesse sistema.
Resposta
Assim, ao supormos $ n = 0 $ para uma partícula em um poço de potencial de profundidade infinita, estamos violando o princípio da incerteza porque resultaria em uma energia não física e em incertezas inconsistentes para posição e momento da partícula.