Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos com coordenadas (1, 2) e (x, 7), com x sendo um número real, estão no primeiro quadrante e distam 13u.c. entre si. Qual o valor de x?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre coordenadas no plano cartesiano e a distância entre dois pontos. Precisamos achar o valor de $ x $ sabendo que os pontos x e (1, 2) estão no primeiro quadrante e a distância entre eles é de 13 unidades de comprimento. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2). Ela é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Essa fórmula calcula a “linha reta” que conecta os dois pontos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos na questão:
  • $ x_1 = 1 $
  • $ y_1 = 2 $
  • $ x_2 = x $ (o que queremos descobrir)
  • $ y_2 = 7 $
  • $ d = 13 $
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
x1 = 1

Passo 4

Vamos simplificar o que está dentro da raiz. Calculando $ (7 - 2)^2 $:
(7 - 2)^2
Então, a equação fica:
(7 - 2)^2 = 5^2 = 25

Passo 5

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
13^2 = (x - 1)^2 + 25
169 = (x - 1)^2 + 25

Passo 6

Agora, vamos isolar $ (x - 1)^2 $ subtraindo 25 de ambos os lados:
(x - 1)^2
169 - 25 = (x - 1)^2

Passo 7

Para encontrar $ x - 1 $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x - 1
raiz144 = x - 1

Passo 8

Resolvendo para $ x $ em cada caso:
  1. $ 12 = x - 1 $
    x
  2. $ -12 = x - 1 $
    12 = x - 1

Passo 9

Mas atenção! A questão diz que os pontos estão no primeiro quadrante, ou seja, $ x $ e $ y $ devem ser positivos. Então, descartamos a solução $ x = -11 $ porque $ x $ negativo não está no primeiro quadrante.

Resposta

O valor de $ x $ é 13.

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