Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos com coordenadas (1, 2) e (x, 7), com x sendo um número real, estão no primeiro quadrante e distam 13u.c. entre si. Qual o valor de x?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre coordenadas no plano cartesiano e a distância entre dois pontos. Precisamos achar o valor de $ x $ sabendo que os pontos
e
estão no primeiro quadrante e a distância entre eles é de 13 unidades de comprimento. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos
e
. Ela é dada por:
Essa fórmula calcula a “linha reta” que conecta os dois pontos.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos na questão:
- $ x_1 = 1 $
- $ y_1 = 2 $
- $ x_2 = x $ (o que queremos descobrir)
- $ y_2 = 7 $
- $ d = 13 $
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 4
Vamos simplificar o que está dentro da raiz. Calculando $ (7 - 2)^2 $:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ (x - 1)^2 $ subtraindo 25 de ambos os lados:
Passo 7
Para encontrar $ x - 1 $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo para $ x $ em cada caso:
-
$ 12 = x - 1 $
-
$ -12 = x - 1 $
Passo 9
Mas atenção! A questão diz que os pontos estão no primeiro quadrante, ou seja, $ x $ e $ y $ devem ser positivos. Então, descartamos a solução $ x = -11 $ porque $ x $ negativo não está no primeiro quadrante.
Resposta
O valor de $ x $ é 13.