Quantas vezes os ponteiros de minutos e de horas se sobrepõem em um dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pergunta quantas vezes os ponteiros de minutos e de horas se sobrepõem em um dia. Isso envolve o conteúdo de movimento dos ponteiros dos relógios. Para resolver, vamos precisar entender como os ponteiros se movem e em que momentos eles se alinham exatamente.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como cada ponteiro se move. O ponteiro das horas completa uma volta de 360° em 12 horas, então ele se move a uma velocidade de:
Já o ponteiro dos minutos faz uma volta completa em 60 minutos, ou seja, ele se move a:
Essas velocidades nos ajudam a entender como os ponteiros se aproximam ou se afastam ao longo do tempo.
Passo 3
Para que os ponteiros se sobreponham, eles precisam estar no mesmo ângulo. Isso acontece quando a diferença entre as posições dos ponteiros é um múltiplo de 360°, ou seja:
Onde $ k $ é um número inteiro.
Passo 4
Vamos calcular o tempo que leva para que essa sobreposição aconteça novamente. A diferença de velocidade entre os ponteiros é:
Então, para que o ponteiro dos minutos “alcance” o das horas novamente, ele precisa ganhar 360° de vantagem, o que leva:
Isso quer dizer que aproximadamente a cada 65.4545 minutos, os ponteiros se sobrepõem.
Passo 5
Agora, vamos ver quantas vezes isso acontece em 12 horas. Sabemos que em 12 horas, o número de sobreposições é:
Então, em 12 horas, os ponteiros se sobrepõem 11 vezes.
Passo 6
Como um dia tem 24 horas, que é o dobro de 12 horas, basta multiplicar o número de sobreposições por 2:
Resposta
Os ponteiros de minutos e de horas se sobrepõem 22 vezes em um dia.