Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com fator de atrito igual a 0,028 . A vazão total que entra no sistema é 0,025 m^3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de distribuição de água com dois trechos de tubulação:
  1. O primeiro trecho tem 1500 metros de comprimento e 150 mm de diâmetro.
  2. O segundo trecho tem 900 metros de comprimento e 100 mm de diâmetro.
Ambos os trechos têm um fator de atrito igual a 0,028. A vazão total que entra no sistema é de , e toda a água é distribuída de forma uniforme ao longo dos trechos, ou seja, na saída final a vazão é nula. Precisamos determinar a perda de carga total na adutora.
Para resolver isso, vamos usar a Equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a calcular a perda de carga devido ao atrito em tubulações. Precisaremos considerar que a vazão diminui ao longo do comprimento da tubulação devido à distribuição uniforme da água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Darcy-Weisbach para perda de carga hf = f cdot LD cdot v^22g :
Q(x) = Q0 (1 - xL)
Onde:
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento da tubulação
  • é o diâmetro interno da tubulação
  • é a velocidade do fluido
  • é a aceleração da gravidade ( )
Como a vazão varia ao longo do comprimento devido à distribuição uniforme, podemos expressar a vazão em função da posição :
Onde e é o comprimento total da tubulação.

Passo 3

A velocidade v = QA = 4Qpi D^2 do fluido é relacionada à vazão v(x) = 4Q(x)pi D^2 = 4Q0pi D^2 (1 - xL) e ao diâmetro pela fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Agora, substituímos hf = f cdot LD cdot (4Q0pi D^2 (1 - xL))^22g na equação de Darcy-Weisbach:
hf = f cdot LD cdot 16Q0^22pi^2 D^4 g (1 - xL)^2
Simplificando:
hf = 8fQ0^2 Lpi^2 D^5 g (1 - xL)^2

Passo 5

Para encontrar a perda de carga total, precisamos integrar htotal = integral0^L 8fQ0^2 Lpi^2 D^5 g (1 - xL)^2 dx ao longo de todo o comprimento da tubulação:
htotal = 8fQ0^2 Lpi^2 D^5 g integral0^L (1 - xL)^2 dx
Vamos simplificar a integral:
htotal = 8fQ0^2 Lpi^2 D^5 g integral1^0 u^2 (-L du)
Substituindo htotal = 8fQ0^2 L^2pi^2 D^5 g integral0^1 u^2 du , então integral0^1 u^2 du = u^33 |0^1 = 13 , e os limites de integração mudam de para e para :
Integrando :

Passo 6

Substituindo o resultado da integral:
htotal = 8fQ0^2 L^2pi^2 D^5 g cdot 13 = 8fQ0^2 L^23pi^2 D^5 g

Passo 7

Agora, precisamos considerar os dois trechos de tubulação separadamente e somar as perdas de carga de cada um.
Para o primeiro trecho:
Para o segundo trecho:
Vamos calcular para cada trecho e depois somar.

Passo 8

Calculando para o primeiro trecho:
htotal1 = 8 cdot 0,028 cdot (0,025)^2 cdot (1500)^23 cdot pi^2 cdot (0,15)^5 cdot 9,81
Calculando para o segundo trecho:
htotal2 = 8 cdot 0,028 cdot (0,025)^2 cdot (900)^23 cdot pi^2 cdot (0,10)^5 cdot 9,81

Passo 9

Agora, vamos calcular numericamente cada parte:
Para o primeiro trecho:
htotal1 = 8 cdot 0,028 cdot 0,000625 cdot 22500003 cdot 9,8696 cdot 0,000759375 cdot 9,81
htotal1 = 8 cdot 0,028 cdot 0,000625 cdot 22500003 cdot 9,8696 cdot 0,000759375 cdot 9,81 approx 2,03 , m
Para o segundo trecho:
htotal2 = 8 cdot 0,028 cdot 0,000625 cdot 8100003 cdot 9,8696 cdot 0,0001 cdot 9,81
htotal2 = 8 cdot 0,028 cdot 0,000625 cdot 8100003 cdot 9,8696 cdot 0,0001 cdot 9,81 approx 4,57 , m

Resposta

A perda de carga total na adutora é aproximadamente .

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