Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com fator de atrito igual a 0,028 . A vazão total que entra no sistema é e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de distribuição de água com dois trechos de tubulação:
  1. O primeiro trecho tem 1500 metros de comprimento e 150 mm de diâmetro.
  2. O segundo trecho tem 900 metros de comprimento e 100 mm de diâmetro.
Ambos os trechos têm um fator de atrito igual a 0,028. A vazão total que entra no sistema é de , e toda a água é distribuída de forma uniforme ao longo dos trechos, ou seja, na saída final a vazão é nula. Precisamos determinar a perda de carga total na adutora.
Para resolver isso, vamos usar a Equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a calcular a perda de carga devido ao atrito em tubulações. Precisaremos considerar que a vazão diminui ao longo do comprimento da tubulação devido à distribuição uniforme da água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Darcy-Weisbach para perda de carga :
Onde:
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento da tubulação
  • é o diâmetro interno da tubulação
  • é a velocidade do fluido
  • é a aceleração da gravidade ( )
Como a vazão varia ao longo do comprimento devido à distribuição uniforme, podemos expressar a vazão em função da posição :
Onde e é o comprimento total da tubulação.

Passo 3

A velocidade do fluido é relacionada à vazão e ao diâmetro pela fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Agora, substituímos na equação de Darcy-Weisbach:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a perda de carga total, precisamos integrar ao longo de todo o comprimento da tubulação:
Vamos simplificar a integral:
Substituindo , então , e os limites de integração mudam de para e para :
Integrando :

Passo 6

Substituindo o resultado da integral:

Passo 7

Agora, precisamos considerar os dois trechos de tubulação separadamente e somar as perdas de carga de cada um.
Para o primeiro trecho:
Para o segundo trecho:
Vamos calcular para cada trecho e depois somar.

Passo 8

Calculando para o primeiro trecho:
Calculando para o segundo trecho:

Passo 9

Agora, vamos calcular numericamente cada parte:
Para o primeiro trecho:
Para o segundo trecho:

Resposta

A perda de carga total na adutora é aproximadamente .

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