A presença de CO2 em solução é essencial para o crescimento de plantas aquáticas, com o CO2 sendo usado como um reagente na fotossíntese. Considere um corpo de água estagnado no qual a concentração de CO2(rhoA) é nula em qualquer lugar. No tempo t=0, a água é exposta a uma fonte de CO2, que mantém a concentração na superfície (x=0) em um valor fixo rhoA, 0. Para t>0, começa o acúmulo de CO2 na água, mas esse acúmulo é impedido pelo consumo de CO2 devido à fotossíntese. A taxa na qual esse consumo ocorre por unidade de volume é igual ao produto entre uma constante da taxa de reação k1 e a concentração local do CO2 rhoA(x, t).
(a) Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar rhoA(x, t) na água. O que cada parcela da equação representa fisicamente?
(b) Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um corpo de água parado onde, inicialmente, a concentração de CO2 é zero em todos os pontos. No instante t=0, uma fonte de CO2 é ligada na superfície da água ( x=0), mantendo a concentração nessa superfície em rhoA,0. Para tempos maiores que zero ( t > 0), o CO2 começa a se acumular na água, mas também é consumido pela fotossíntese das plantas aquáticas. A taxa de consumo é proporcional à concentração local de CO2, com uma constante de taxa k1.
Vamos precisar usar conceitos de difusão de substâncias em meios contínuos e reações químicas de primeira ordem para modelar o acúmulo e o consumo de CO2 na água.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na difusão do CO2 na água. A difusão é o processo pelo qual uma substância se espalha de regiões de maior concentração para regiões de menor concentração. A equação que descreve a difusão é a Equação de Difusão de Fick:
partial rhoApartial t = D partial^2 rhoApartial x^2
onde:
  • rhoA(x, t) é a concentração de CO2 no ponto x e tempo t,
  • D é o coeficiente de difusão do CO2 na água.

Passo 3

Agora, precisamos levar em conta o consumo de CO2 devido à fotossíntese. Esse consumo é proporcional à concentração local de CO2, e podemos representá-lo pela taxa k1 rhoA(x, t). Essa taxa representa a variação negativa na concentração de CO2.
Portanto, a equação geral que descreve a variação da concentração de CO2 na água deve incluir tanto a difusão quanto o consumo pela fotossíntese:
partial rhoApartial t = D partial^2 rhoApartial x^2 - k1 rhoA(x, t)
Aqui:
  • O termo D partial^2 rhoApartial x^2 representa a difusão do CO2,
  • O termo -k1 rhoA(x, t) representa o consumo desse CO2 pela fotossíntese.

Passo 4

Resumindo, a equação diferencial que precisamos é:
partial rhoApartial t = D partial^2 rhoApartial x^2 - k1 rhoA(x, t)
Cada parcela da equação representa:
  • partial rhoApartial t: a taxa de variação da concentração de CO2 no tempo.
  • D partial^2 rhoApartial x^2: a difusão do CO2 na água.
  • -k1 rhoA(x, t): o consumo de CO2 pela fotossíntese.

Resposta

A equação diferencial que determina rhoA(x, t) na água é:
partial rhoApartial t = D partial^2 rhoApartial x^2 - k1 rhoA(x, t)
onde:
  • partial rhoApartial t representa a variação temporal da concentração de CO2,
  • D partial^2 rhoApartial x^2 descreve a difusão do CO2 na água,
  • -k1 rhoA(x, t) indica o consumo de CO2 pela fotossíntese.

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