A presença de em solução é essencial para o crescimento de plantas aquáticas, com o sendo usado como um reagente na fotossíntese. Considere um corpo de água estagnado no qual a concentração de é nula em qualquer lugar. No tempo , a água é exposta a uma fonte de , que mantém a concentração na superfície em um valor fixo . Para , começa o acúmulo de na água, mas esse acúmulo é impedido pelo consumo de devido à fotossíntese. A taxa na qual esse consumo ocorre por unidade de volume é igual ao produto entre uma constante da taxa de reação e a concentração local do .
(a) Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar na água. O que cada parcela da equação representa fisicamente?
(b) Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um corpo de água parado onde, inicialmente, a concentração de é zero em todos os pontos. No instante , uma fonte de é ligada na superfície da água ( ), mantendo a concentração nessa superfície em . Para tempos maiores que zero ( ), o começa a se acumular na água, mas também é consumido pela fotossíntese das plantas aquáticas. A taxa de consumo é proporcional à concentração local de , com uma constante de taxa .
Vamos precisar usar conceitos de difusão de substâncias em meios contínuos e reações químicas de primeira ordem para modelar o acúmulo e o consumo de na água.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na difusão do na água. A difusão é o processo pelo qual uma substância se espalha de regiões de maior concentração para regiões de menor concentração. A equação que descreve a difusão é a Equação de Difusão de Fick:
onde:
  • é a concentração de no ponto e tempo ,
  • é o coeficiente de difusão do na água.

Passo 3

Agora, precisamos levar em conta o consumo de devido à fotossíntese. Esse consumo é proporcional à concentração local de , e podemos representá-lo pela taxa . Essa taxa representa a variação negativa na concentração de .
Portanto, a equação geral que descreve a variação da concentração de na água deve incluir tanto a difusão quanto o consumo pela fotossíntese:
Aqui:
  • O termo representa a difusão do ,
  • O termo representa o consumo desse pela fotossíntese.

Passo 4

Resumindo, a equação diferencial que precisamos é:
Cada parcela da equação representa:
  • : a taxa de variação da concentração de no tempo.
  • : a difusão do na água.
  • : o consumo de pela fotossíntese.

Resposta

A equação diferencial que determina na água é:
onde:
  • representa a variação temporal da concentração de ,
  • descreve a difusão do na água,
  • indica o consumo de pela fotossíntese.

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