A presença de
em solução é essencial para o crescimento de plantas aquáticas, com o
sendo usado como um reagente na fotossíntese. Considere um corpo de água estagnado no qual a concentração de
é nula em qualquer lugar. No tempo
, a água é exposta a uma fonte de
, que mantém a concentração na superfície
em um valor fixo
. Para
, começa o acúmulo de
na água, mas esse acúmulo é impedido pelo consumo de
devido à fotossíntese. A taxa na qual esse consumo ocorre por unidade de volume é igual ao produto entre uma constante da taxa de reação
e a concentração local do
.
(a) Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar
na água. O que cada parcela da equação representa fisicamente?
(b) Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água
(a) Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar
(b) Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um corpo de água parado onde, inicialmente, a concentração de
é zero em todos os pontos. No instante
, uma fonte de
é ligada na superfície da água (
), mantendo a concentração nessa superfície em
. Para tempos maiores que zero (
), o
começa a se acumular na água, mas também é consumido pela fotossíntese das plantas aquáticas. A taxa de consumo é proporcional à concentração local de
, com uma constante de taxa
.
Vamos precisar usar conceitos de difusão de substâncias em meios contínuos e reações químicas de primeira ordem para modelar o acúmulo e o consumo de
na água.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na difusão do
na água. A difusão é o processo pelo qual uma substância se espalha de regiões de maior concentração para regiões de menor concentração. A equação que descreve a difusão é a Equação de Difusão de Fick:
onde:
-
é a concentração de no ponto e tempo , -
é o coeficiente de difusão do na água.
Passo 3
Agora, precisamos levar em conta o consumo de
devido à fotossíntese. Esse consumo é proporcional à concentração local de
, e podemos representá-lo pela taxa
. Essa taxa representa a variação negativa na concentração de
.
Portanto, a equação geral que descreve a variação da concentração de
na água deve incluir tanto a difusão quanto o consumo pela fotossíntese:
Aqui:
- O termo
representa a difusão do , - O termo
representa o consumo desse pela fotossíntese.
Passo 4
Resumindo, a equação diferencial que precisamos é:
Cada parcela da equação representa:
-
: a taxa de variação da concentração de no tempo. -
: a difusão do na água. -
: o consumo de pela fotossíntese.
Resposta
A equação diferencial que determina
na água é:
onde:
-
representa a variação temporal da concentração de , -
descreve a difusão do na água, -
indica o consumo de pela fotossíntese.