Em um sistema de uma fila e um canal, mediu-se o número médio de clientes na fila, encontrando-se o valor 3,2. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é
, pede-se calcular a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de fila com um canal, onde a média de clientes na fila é 3,2 e cada cliente passa, em média, 0,5 horas no sistema. Vamos usar Teoria das Filas, especificamente o modelo M/M/1, para resolver isso. Vamos precisar entender conceitos como taxa de chegada, taxa de serviço e como calcular probabilidades no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de chegada (
) e de serviço (
). Sabemos que o tempo médio no sistema (
) é 0,5 horas. Na Teoria das Filas M/M/1, a relação entre essas taxas é:
Também sabemos que o número médio de clientes na fila (
) é 3,2. A fórmula para
no modelo M/M/1 é:
Passo 3
Vamos resolver para
e
. Primeiro, expressamos
em função de
usando a primeira equação:
Agora substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Expandindo:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática para encontrar
:
Desconsideramos a solução negativa:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de ter menos de 6 clientes no sistema, ou seja,
. No modelo M/M/1, a probabilidade de ter
clientes no sistema é:
Onde
.
Vamos calcular cada
:
Somando todas essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6 é aproximadamente 73,75%.