Em um sistema de uma fila e um canal, mediu-se o número médio de clientes na fila, encontrando-se o valor 3,2. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é 0,5 h, pede-se calcular a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de fila com um canal, onde a média de clientes na fila é 3,2 e cada cliente passa, em média, 0,5 horas no sistema. Vamos usar Teoria das Filas, especificamente o modelo M/M/1, para resolver isso. Vamos precisar entender conceitos como taxa de chegada, taxa de serviço e como calcular probabilidades no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de chegada ( lambda) e de serviço ( mu). Sabemos que o tempo médio no sistema ( W) é 0,5 horas. Na Teoria das Filas M/M/1, a relação entre essas taxas é:
W = 1mu - lambda
Também sabemos que o número médio de clientes na fila ( Lq) é 3,2. A fórmula para Lq no modelo M/M/1 é:
Lq = lambda^2mu (mu - lambda)

Passo 3

Vamos resolver para lambda e mu. Primeiro, expressamos mu em função de lambda usando a primeira equação:
0,5 = 1mu - lambda implies mu - lambda = 2 implies mu = lambda + 2
Agora substituímos mu na segunda equação:
3,2 = lambda^2(lambda + 2)(2)
Simplificando:
3,2 = lambda^22(lambda + 2) implies 3,2 times 2(lambda + 2) = lambda^2 implies 6,4(lambda + 2) = lambda^2
Expandindo:
6,4lambda + 12,8 = lambda^2 implies lambda^2 - 6,4lambda - 12,8 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática para encontrar lambda:
lambda = 6,4 pm raiz(6,4)^2 + 4 times 12,82 = 6,4 pm raiz40,96 + 51,22 = 6,4 pm raiz92,162 = 6,4 pm 9,62
Desconsideramos a solução negativa:
lambda = 6,4 + 9,62 = 162 = 8 clientes/hora
Então, mu = 8 + 2 = 10 clientes/hora.

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de ter menos de 6 clientes no sistema, ou seja, P(n < 6) = P(0) + P(1) + dots + P(5). No modelo M/M/1, a probabilidade de ter n clientes no sistema é:
P(n) = (1 - rho) rho^n
Onde rho = lambdamu = 810 = 0,8.
Vamos calcular cada P(n):
P(0) = (1 - 0,8)(0,8)^0 = 0,2 times 1 = 0,2
P(1) = 0,2 times 0,8 = 0,16
P(2) = 0,2 times 0,8^2 = 0,2 times 0,64 = 0,128
P(3) = 0,2 times 0,8^3 = 0,2 times 0,512 = 0,1024
P(4) = 0,2 times 0,8^4 = 0,2 times 0,4096 = 0,08192
P(5) = 0,2 times 0,8^5 = 0,2 times 0,32768 = 0,065536
Somando todas essas probabilidades:
P(n < 6) = 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 + 0,08192 + 0,065536 = 0,737456

Resposta

A probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6 é aproximadamente 73,75%.

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