Se uma perturbação for feita na entrada na forma: u(t)=(1-e^-t), qual a resposta dinâmica de y(t) ?
(a) y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2)
(d) y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2+e^-t)
(b) y(t)=1-3 cdot e^-t / 2+e^-t
(e) y(t)=3 cdot(1-2 cdot e^-t / 2+e^-t) x
© y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2+2 cdot e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a resposta dinâmica quando aplicamos uma perturbação na entrada . A matéria envolvida aqui é a análise de sistemas dinâmicos usando transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace na entrada e na resposta do sistema, e depois fazer a inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a entrada Lu(t) = L1 - Le^-t = 1s - 1s + 1 . Isso pode ser visto como a diferença entre uma função degrau unitário e uma exponencial decrescente . Em termos de transformada de Laplace, temos:

Passo 3

Agora, precisamos conhecer a função de transferência do sistema, H(s) = 3(s + 12)(s + 1) . Embora a questão não tenha fornecido explicitamente, pelas opções de resposta, podemos inferir que a função de transferência tem dois polos, provavelmente em e , e um ganho de . Então, assumimos:

Passo 4

Para encontrar a resposta no domínio da frequência, multiplicamos a transformada de Laplace da entrada pela função de transferência:
Y(s) = H(s) cdot Lu(t) = 3(s + 12)(s + 1) ( 1s - 1s + 1 )

Passo 5

Simplificando a expressão:
Y(s) = 3(s + 12)(s + 1)s - 3(s + 12)(s + 1)(s + 1)

Passo 6

Para facilitar a inversa, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Após resolver, encontramos que:
Y(s) = 3s - 6s + 12 + 3s + 1

Passo 7

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter y(t) = 3 cdot (1 - 2 cdot e^-t2 + e^-t) :

Resposta

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