Um sistema massa-mola, com constante elástica
e massa
, oscila em MHS com amplitude
. Calcule:
(e) o tempo, a partir de
, em que o sistema terá energia cinética igual à energia potencial pela primeira vez.
(e) o tempo, a partir de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma massa $ m $ e uma constante elástica $ k $ que está oscilando de forma harmônica simples (MHS) com uma amplitude $ A_0 $. O que a gente precisa descobrir é em que tempo, a partir de $ t = 0 $, a energia cinética do sistema será igual à energia potencial pela primeira vez. Para isso, vamos usar as fórmulas das energias cinética e potencial no movimento harmônico simples e resolver a equação que iguala essas duas energias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas das energias cinética ($ E_C
E_P $) em um MHS:
Onde:
- $ v $ é a velocidade,
- $ x $ é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
Passo 3
No movimento harmônico simples, a posição $ x $ e a velocidade $ v $ variam com o tempo de acordo com funções trigonométricas:
Onde $ \omega $ é a frequência angular do sistema, dada por:
Passo 4
Vamos substituir $ x(t) $ e $ v(t) $ nas fórmulas das energias:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ E_C = E_P $:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} A_0^2 $:
Passo 6
Sabemos que $ \omega^2 = \frac{k}{m} $, então substituindo:
Isso simplifica para:
Podemos dividir ambos os lados por $ k $:
Passo 7
Sabemos que $ \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) $ quando $ \theta = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} $, onde $ n $ é um inteiro. Para o primeiro tempo positivo, temos:
Então, isolando $ t $:
Passo 8
Lembrando que $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, substituímos na expressão de $ t $:
Resposta
O tempo a partir de $ t = 0 $ em que a energia cinética será igual à energia potencial pela primeira vez é: