Um sistema massa-mola, com constante elástica k e massa m, oscila em MHS com amplitude A0. Calcule:
(e) o tempo, a partir de t=0, em que o sistema terá energia cinética igual à energia potencial pela primeira vez.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola com uma massa $ m $ e uma constante elástica $ k $ que está oscilando de forma harmônica simples (MHS) com uma amplitude $ A_0 $. O que a gente precisa descobrir é em que tempo, a partir de $ t = 0 $, a energia cinética do sistema será igual à energia potencial pela primeira vez. Para isso, vamos usar as fórmulas das energias cinética e potencial no movimento harmônico simples e resolver a equação que iguala essas duas energias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas das energias cinética ($ E_C EC E_P $) em um MHS:
EP
EC = 12 m v^2
Onde:
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ x $ é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.

Passo 3

No movimento harmônico simples, a posição $ x $ e a velocidade $ v $ variam com o tempo de acordo com funções trigonométricas:
x
v
Onde $ \omega $ é a frequência angular do sistema, dada por:
x(t) = A0 cos(omega t)

Passo 4

Vamos substituir $ x(t) $ e $ v(t) $ nas fórmulas das energias:
x(t)
v(t)

Passo 5

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ E_C = E_P $:
t
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} A_0^2 $:
EC = EP

Passo 6

Sabemos que $ \omega^2 = \frac{k}{m} $, então substituindo:
omega^2 = km
Isso simplifica para:
m cdot km sin^2(omega t) = k cos^2(omega t)
Podemos dividir ambos os lados por $ k $:
k sin^2(omega t) = k cos^2(omega t)

Passo 7

Sabemos que $ \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) $ quando $ \theta = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} $, onde $ n $ é um inteiro. Para o primeiro tempo positivo, temos:
sin^2(theta) = cos^2(theta)
Então, isolando $ t $:
theta = pi4 + npi2

Passo 8

Lembrando que $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, substituímos na expressão de $ t $:
omega = raizkm

Resposta

O tempo a partir de $ t = 0 $ em que a energia cinética será igual à energia potencial pela primeira vez é:
t = 0

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