INDIQUE TODOS OS CÁLCULOS E DEIXE CLARO O RACIOCÍNIO UTILIZADO. NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA.
(7 pontos) A figura mostra um trecho de comprimento l de um solenóide (bobina infinita) contendo N espiras justapostas, cada uma com corrente io. A densidade de espiras é n equiv N / l.
Calcule pela lei de Ampère o campo magnético em termos de i0 e n. Deixe claro o seu raciocínio indicando todas as passagens e representando na figura ao lado todas as grandezas geométricas necessárias, incluindo qualquer curva, superfície ou vetor presente nessa lei.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de magnetismo que envolve a aplicação da Lei de Ampère para calcular o campo magnético dentro de um solenóide. O enunciado nos fornece um solenóide com comprimento $ l $, contendo $ N $ espiras justapostas, cada uma com corrente $ i_0 $. Além disso, a densidade de espiras é dada por $ n = \frac{N}{l} $. Precisamos encontrar o campo magnético $ B $ em termos de $ i_0 $ e $ n $.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que atravessa esse caminho. A fórmula da Lei de Ampère é:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde:
  • $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo do caminho fechado,
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
  • $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pela área delimitada pelo caminho.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Ampère ao solenóide, escolhemos um caminho de Ampère que simplifique os cálculos. No caso do solenóide, escolhemos um retângulo imaginário que:
  • Percorra dentro do solenóide, paralelo ao eixo,
  • Saia do solenóide,
  • Retorne ao ponto inicial.
Esse caminho ajuda a aproveitar a simetria do problema.

Passo 4

Dentro do solenóide, o campo magnético $ \vec{B} $ é uniforme e paralelo ao eixo do solenóide. Fora do solenóide, assume-se que o campo magnético é praticamente zero devido ao longo comprimento e ao grande número de espiras, o que faz com que os campos de cada espira se cancelem fora do solenóide.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo magnético:
oint B cdot dl = B cdot ldentro + 0 + 0 + 0 = B cdot l
onde $ l_{dentro} $ é o comprimento do solenóide, e os outros termos são zero porque o campo fora do solenóide é desprezível e os lados perpendiculares ao campo não contribuem.

Passo 6

A corrente total $ I_{enc} $ que passa pelo caminho de Ampère é igual ao número de espiras dentro do percurso multiplicado pela corrente em cada espira. Como são $ N $ espiras no comprimento $ l $, a densidade de espiras é $ n = \frac{N}{l} $, então:
Ienc

Passo 7

Substituindo na Lei de Ampère:
B cdot l = mu0 cdot n cdot l cdot i0
Podemos cancelar $ l $ dos dois lados da equação:
l

Resposta

O campo magnético dentro do solenóide é dado por:
B = mu0 cdot n cdot i0

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