INDIQUE TODOS OS CÁLCULOS E DEIXE CLARO O RACIOCÍNIO UTILIZADO. NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA.
(7 pontos) A figura mostra um trecho de comprimento
de um solenóide (bobina infinita) contendo
espiras justapostas, cada uma com corrente
. A densidade de espiras é
.
Calcule pela lei de Ampère o campo magnético em termos de
e
. Deixe claro o seu raciocínio indicando todas as passagens e representando na figura ao lado todas as grandezas geométricas necessárias, incluindo qualquer curva, superfície ou vetor presente nessa lei.
(7 pontos) A figura mostra um trecho de comprimento
Calcule pela lei de Ampère o campo magnético em termos de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de magnetismo que envolve a aplicação da Lei de Ampère para calcular o campo magnético dentro de um solenóide. O enunciado nos fornece um solenóide com comprimento $ l $, contendo $ N $ espiras justapostas, cada uma com corrente $ i_0 $. Além disso, a densidade de espiras é dada por $ n = \frac{N}{l} $. Precisamos encontrar o campo magnético $ B $ em termos de $ i_0 $ e $ n $.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que atravessa esse caminho. A fórmula da Lei de Ampère é:
onde:
- $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo do caminho fechado,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
- $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pela área delimitada pelo caminho.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Ampère ao solenóide, escolhemos um caminho de Ampère que simplifique os cálculos. No caso do solenóide, escolhemos um retângulo imaginário que:
- Percorra dentro do solenóide, paralelo ao eixo,
- Saia do solenóide,
- Retorne ao ponto inicial.
Esse caminho ajuda a aproveitar a simetria do problema.
Passo 4
Dentro do solenóide, o campo magnético $ \vec{B} $ é uniforme e paralelo ao eixo do solenóide. Fora do solenóide, assume-se que o campo magnético é praticamente zero devido ao longo comprimento e ao grande número de espiras, o que faz com que os campos de cada espira se cancelem fora do solenóide.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha do campo magnético:
onde $ l_{dentro} $ é o comprimento do solenóide, e os outros termos são zero porque o campo fora do solenóide é desprezível e os lados perpendiculares ao campo não contribuem.
Passo 6
A corrente total $ I_{enc} $ que passa pelo caminho de Ampère é igual ao número de espiras dentro do percurso multiplicado pela corrente em cada espira. Como são $ N $ espiras no comprimento $ l $, a densidade de espiras é $ n = \frac{N}{l} $, então:
Passo 7
Substituindo na Lei de Ampère:
Podemos cancelar $ l $ dos dois lados da equação:
Resposta
O campo magnético dentro do solenóide é dado por: