Determine a solução particular para os parâmetros
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma solução particular com os parâmetros
,
,
e
. Isso está relacionado a resolver uma equação diferencial, especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a forma geral da equação diferencial que estamos tratando. Geralmente, em problemas assim, temos algo do tipo:
Aqui,
representa a taxa de variação de
em relação ao tempo
,
é uma constante, e
e
são parâmetros constantes.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Então,
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
quando
:
Calculando os valores:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução particular é: