Para um sistema de ordem cuja função de transferência em malha fechada é dada por , determine o grau de amortecimento , a frequência (de ressonância) natural do sistema (sem amortecimento), a frequência amortecida do sistema , o tempo de subida , o tempo de pico , o tempo de acomodação e máximo sobressinal MSS% para uma entrada do tipo degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de segunda ordem com a função de transferência em malha fechada dada por:
Nosso objetivo é encontrar vários parâmetros importantes desse sistema: o grau de amortecimento , a frequência natural sem amortecimento , a frequência amortecida , o tempo de subida , o tempo de pico , o tempo de acomodação e o máximo sobre-sinal (MSS%) quando a entrada é um degrau unitário. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de segunda ordem e suas características de resposta ao degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros básicos da nossa função de transferência. A forma geral de uma função de transferência de um sistema de segunda ordem em malha fechada é:
Comparando com a função dada:
Podemos igualar os termos:
Agora vamos calcular e .
Passo 3
Calculando a frequ��ncia natural sem amortecimento :
Agora, vamos calcular o grau de amortecimento usando a segunda equação:
Passo 4
Com e conhecidos, podemos encontrar a frequência amortecida . A frequência amortecida é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o tempo de pico . O tempo de pico é o tempo que leva para a resposta atingir o primeiro pico após a aplicação do degrau. A fórmula para é:
Substituindo :
Passo 6
O tempo de subida é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para um sistema subamortecido, uma aproximação para é:
Por fim, vamos calcular o máximo sobre-sinal (MSS%). O MSS% indica quanto a resposta ultrapassa o valor final antes de estabilizar. A fórmula para MSS% é:
MSS% = 100 times e^-zeta piraiz1 - zeta^2
Calculando:
MSS% = 100 times e^-0,3846 times 3,1416raiz1 - 0,3846^2 MSS% = 100 times e^-1,208raiz0,852 MSS% = 100 times e^-1,2080,923 MSS% = 100 times e^-1,308 MSS% approx 100 times 0,2705 MSS% approx 27,05%
Resposta
Os parâmetros do sistema são:
Grau de amortecimento (zeta):0,3846
Frequência natural sem amortecimento (omegan):13 , rad/s