Para um sistema de 2^ a ordem cuja função de transferência em malha fechada é dada por F(s), determine o grau de amortecimento zeta, a frequência (de ressonância) natural do sistema omegan (sem amortecimento), a frequência amortecida do sistema omegad, o tempo de subida Tr(10-90 %), o tempo de pico Tp, o tempo de acomodação Ts(2 %) e máximo sobressinal MSS% para uma entrada do tipo degrau unitário.
F(s)=169(s^2+10 s+169)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de segunda ordem com a função de transferência em malha fechada dada por:
F(s) = 169s^2 + 10s + 169
Nosso objetivo é encontrar vários parâmetros importantes desse sistema: o grau de amortecimento zeta, a frequência natural sem amortecimento omegan, a frequência amortecida omegad, o tempo de subida Tr(10-90%), o tempo de pico Tp, o tempo de acomodação Ts(2%) e o máximo sobre-sinal (MSS%) quando a entrada é um degrau unitário. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de segunda ordem e suas características de resposta ao degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros básicos da nossa função de transferência. A forma geral de uma função de transferência de um sistema de segunda ordem em malha fechada é:
F(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Comparando com a função dada:
F(s) = 169s^2 + 10s + 169
Podemos igualar os termos:
  • omegan^2 = 169
  • 2zetaomegan = 10
Agora vamos calcular omegan e zeta.

Passo 3

Calculando a frequ��ncia natural sem amortecimento omegan:
omegan = raiz169 = 13 , rad/s
Agora, vamos calcular o grau de amortecimento zeta usando a segunda equação:
2zetaomegan = 10 2zeta times 13 = 10 26zeta = 10 zeta = 1026 zeta approx 0,3846

Passo 4

Com zeta e omegan conhecidos, podemos encontrar a frequência amortecida omegad. A frequência amortecida é dada por:
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Substituindo os valores:
omegad = 13 times raiz1 - (0,3846)^2 omegad = 13 times raiz1 - 0,148 omegad = 13 times raiz0,852 omegad approx 13 times 0,923 omegad approx 11,999 , rad/s omegad approx 12,00 , rad/s

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo de pico Tp. O tempo de pico é o tempo que leva para a resposta atingir o primeiro pico após a aplicação do degrau. A fórmula para Tp é:
Tp = piomegad
Substituindo omegad:
Tp = pi12,00 Tp approx 3,141612 Tp approx 0,262 , segundos

Passo 6

O tempo de subida Tr(10-90%) é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para um sistema subamortecido, uma aproximação para Tr é:
Tr approx pi - thetaomegad
Onde theta = arctan(raiz1 - zeta^2zeta).
Calculando theta:
theta = arctan(raiz1 - 0,3846^20,3846) theta = arctan(0,9230,3846) theta = arctan(2,4) theta approx 1,176 , rad
Agora, calculando Tr:
Tr approx 3,1416 - 1,17612,00 Tr approx 1,965612 Tr approx 0,1638 , segundos

Passo 7

O tempo de acomodação Ts(2%) é o tempo que a resposta leva para entrar e permanecer dentro de 2% do valor final. A fórmula para Ts é:
Ts approx 4zeta omegan
Substituindo os valores:
Ts approx 40,3846 times 13 Ts approx 45 Ts approx 0,8 , segundos

Passo 8

Por fim, vamos calcular o máximo sobre-sinal (MSS%). O MSS% indica quanto a resposta ultrapassa o valor final antes de estabilizar. A fórmula para MSS% é:
MSS% = 100 times e^-zeta piraiz1 - zeta^2
Calculando:
MSS% = 100 times e^-0,3846 times 3,1416raiz1 - 0,3846^2 MSS% = 100 times e^-1,208raiz0,852 MSS% = 100 times e^-1,2080,923 MSS% = 100 times e^-1,308 MSS% approx 100 times 0,2705 MSS% approx 27,05%

Resposta

Os parâmetros do sistema são:
  • Grau de amortecimento ( zeta): 0,3846
  • Frequência natural sem amortecimento ( omegan): 13 , rad/s
  • Frequência amortecida ( omegad): 12,00 , rad/s
  • Tempo de subida Tr(10-90%): 0,1638 , segundos
  • Tempo de pico Tp: 0,262 , segundos
  • Tempo de acomodação Ts(2%): 0,8 , segundos
  • Máximo sobre-sinal (MSS%): 27,05%

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