Um sistema possui uma função de transferência em maIha fechada dada por M(s)=20(s+25). Determine a constante de tempo tau, o tempo de subida Tr e o tempo de acomodação Ts deste sistema. Qual é o valor do ganho CC? Qual é o valor final (valor em regime permanente) de sua resposta ao degrau unitário?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos a função de transferência em malha fechada do sistema dada por:
M(s) = 20s + 25
Vamos precisar conhecer conceitos de sistemas de controle, como constante de tempo ( tau), tempo de subida ( Tr), tempo de acomodação ( Ts), ganho em regime permanente (ganho CC) e o valor final da resposta ao degrau unitário. Para resolver isso, vamos analisar a função de transferência e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

A constante de tempo ( tau) é uma medida de quão rápido um sistema responde a uma entrada. Para uma função de transferência da forma:
M(s) = Ks + a
A constante de tempo é dada por:
tau = 1a
No nosso caso, a = 25, então:
tau = 125 = 0,04 segundos

Passo 3

O ganho em regime permanente (ganho CC) é o valor da função de transferência quando s = 0. Calculamos isso substituindo s = 0 na função de transferência:
Ganho CC = M(0) = 200 + 25 = 2025 = 0,8

Passo 4

Para encontrar o valor final da resposta ao degrau unitário, usamos o Teorema do Valor Final, que diz que:
limt to infty y(t) = lims to 0 sM(s) cdot 1s = lims to 0 M(s)
Substituindo:
lims to 0 M(s) = lims to 0 20s + 25 = 2025 = 0,8

Passo 5

Para sistemas de primeira ordem, os conceitos de tempo de subida ( Tr) e tempo de acomodação ( Ts) são um pouco diferentes, já que esses termos são mais comuns em sistemas de segunda ordem. No entanto, podemos considerar:
  • Tempo de Acomodação ( Ts): Aproximadamente 4tau para sistemas de primeira ordem.
Então:
Ts = 4 times 0,04 = 0,16 segundos
  • Tempo de Subida ( Tr): Para sistemas de primeira ordem, o tempo de subida não é bem definido como em sistemas de segunda ordem, mas podemos considerá-lo como o tempo para ir de 10% a 90% da resposta final.
Como tau = 0,04 s, uma estimativa simplificada seria:
Tr approx tau times ln(91) approx 0,04 times 2,197 approx 0,088 segundos

Resposta

  • Constante de tempo, tau = 0,04 s
  • Tempo de subida, Tr approx 0,088 s
  • Tempo de acomodação, Ts = 0,16 s
  • Ganho CC = 0,8
  • Valor final da resposta ao degrau unitário = 0,8

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