Um sistema possui duas partículas. No instante uma das partículas está na origem; a outra, com massa igual a , estão sobre o eixo y no ponto . Para , o centro de massa do sistema está sobre o eixo y no ponto . a velocidade do centro de massa do sistema é dada por . b) ache a aceleração do centro de massa em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema com duas partículas: uma na origem e outra com massa de 0,50 kg no ponto y = 6,0 m no instante t = 0. O centro de massa desse sistema está no ponto y = 2,4 m. A velocidade do centro de massa é dada por . Agora, a gente precisa achar a aceleração do centro de massa em função do tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e cálculo de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade e a aceleração. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemática falando, se temos a velocidade como uma função do tempo, a aceleração é a derivada dessa função em relação ao tempo.

Passo 3

A velocidade do centro de massa está dada por:
Isso significa que a velocidade depende do tempo e está na direção do eixo x (representado por ).

Passo 4

Para encontrar a aceleração, vamos derivar a expressão da velocidade em relação ao tempo. A derivada de em relação a t será a aceleração :

Passo 5

Vamos calcular a derivada:
Como o coeficiente 0,75 e a direção são constantes, podemos tirar eles da derivada:

Passo 6

A derivada de em relação a t é , então:

Resposta

A aceleração do centro de massa em função do tempo é:

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