Verifique se a função de onda para uma partícula livre, dada por:
é solução da Equação de Schrödinger. Qual o valor da energia total da partícula para que isso seja verificado?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função de onda para uma partícula livre, dada por:
Queremos verificar se essa função de onda satisfaz a Equação de Schrödinger e encontrar o valor da energia total
da partícula. Para isso, vamos precisar entender a Equação de Schrödinger dependente do tempo e aplicar derivadas na função de onda.
Passo 2
Vamos lembrar da Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a função de onda.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função de onda em relação ao tempo,
.
A função de onda é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial da função de onda em relação a
,
.
Primeiro, derivamos uma vez em relação a
:
Derivando novamente:
Passo 5
Substituindo as derivadas na Equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 6
Igualando os dois lados da equa�o:
Como
é diferente de zero dentro do intervalo considerado, podemos dividir ambos os lados por
:
Resposta
A energia total da partícula para que a função de onda seja solução da Equação de Schrödinger é: