Verifique se a função de onda para uma partícula livre, dada por:
é solução da Equação de Schrödinger. Qual o valor da energia total da partícula para que isso seja verificado?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função de onda para uma partícula livre, dada por:
Queremos verificar se essa função de onda satisfaz a Equação de Schrödinger e encontrar o valor da energia total da partícula. Para isso, vamos precisar entender a Equação de Schrödinger dependente do tempo e aplicar derivadas na função de onda.

Passo 2

Vamos lembrar da Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função de onda em relação ao tempo, .
A função de onda é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial da função de onda em relação a , .
Primeiro, derivamos uma vez em relação a :
Derivando novamente:

Passo 5

Substituindo as derivadas na Equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 6

Igualando os dois lados da equa�o:
Como é diferente de zero dentro do intervalo considerado, podemos dividir ambos os lados por :

Resposta

A energia total da partícula para que a função de onda seja solução da Equação de Schrödinger é:

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