Verifique se a função de onda para uma partícula livre, dada por:
Psi(x, t)=lr A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a2 <= x <=+a2 0 & x <=-a2 ou x >=+a2
é solução da Equação de Schrödinger. Qual o valor da energia total da partícula para que isso seja verificado?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função de onda para uma partícula livre, dada por:
Psi(x, t)=lr A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a2 <= x <=+a2 0 & x <=-a2 ou x >=+a2
Queremos verificar se essa função de onda satisfaz a Equação de Schrödinger e encontrar o valor da energia total da partícula. Para isso, vamos precisar entender a Equação de Schrödinger dependente do tempo e aplicar derivadas na função de onda.

Passo 2

Vamos lembrar da Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função de onda em relação ao tempo, Psi(x, t) = A sen(2 pi xa) e^-i E t / hbar .
A função de onda é:
Derivando em relação a partial Psipartial t = A sen(2 pi xa) ( -i Ehbar ) e^-i E t / hbar = -i Ehbar Psi(x, t) :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial da função de onda em relação a partial Psipartial x = A ( 2 pia cos(2 pi xa) ) e^-i E t / hbar , partial^2 Psipartial x^2 = -A ( 4 pi^2a^2 sen(2 pi xa) ) e^-i E t / hbar = -4 pi^2a^2 Psi(x, t) .
Primeiro, derivamos uma vez em relação a :
Derivando novamente:

Passo 5

Substituindo as derivadas na Equação de Schrödinger:
ihbar ( -i Ehbar Psi ) = -hbar^22m ( -4 pi^2a^2 Psi )
Simplificando o lado esquerdo:
ihbar ( -i Ehbar Psi ) = Ehbar hbar Psi = E Psi
E o lado direito:
-hbar^22m ( -4 pi^2a^2 Psi ) = 2 hbar^2 pi^2m a^2 Psi

Passo 6

Igualando os dois lados da equa�o:
E Psi = 2 hbar^2 pi^2m a^2 Psi
Como E = 2 hbar^2 pi^2m a^2 é diferente de zero dentro do intervalo considerado, podemos dividir ambos os lados por :

Resposta

A energia total da partícula para que a função de onda seja solução da Equação de Schrödinger é:
E = 2 hbar^2 pi^2m a^2

Exercícios relacionados