Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
a) Determine . b) Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar do intervalo a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de onda de um elétron, que é uma parte fundamental da mecânica quântica. Nosso objetivo aqui é:
a) Determinar a constante que normaliza a função de onda.
b) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo específico de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso é feito integrando o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualando a 1.
Então, temos:

Passo 3

A função de onda dada é:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos integrar de a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para :
Para :

Passo 6

Somando as duas integrais:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo a .
Isso significa que precisamos integrar de a .

Passo 8

A probabilidade é:

Passo 9

Substituindo :
Calculando as integrais:

Passo 10

Aplicando os limites:
Calculando cada parte:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 11

Somando as duas partes:

Resposta

a)
b) A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo a é ou aproximadamente 0,632.

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