Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
psi(x)= A e^-alpha x & para x>0 A e^+alpha x & para x<0
a) Determine A. b) Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar do intervalo x1=-12 alpha a x2=12 alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de onda de um elétron, que é uma parte fundamental da mecânica quântica. Nosso objetivo aqui é:
a) Determinar a constante que normaliza a função de onda.
b) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo específico de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso é feito integrando o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualando a 1.
Então, temos:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

A função de onda dada é:
psi(x)= A e^-alpha x & para x > 0 A e^+alpha x & para x < 0
Vamos calcular |psi(x)|^2 = A^2 e^-2alpha x & para x > 0 A^2 e^+2alpha x & para x < 0 :

Passo 4

Agora, vamos integrar integral-infty^0 A^2 e^2alpha x dx + integral0^+infty A^2 e^-2alpha x dx = 1 de a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para integral-infty^0 A^2 e^2alpha x dx = A^2 [ e^2alpha x2alpha ]-infty^0 = A^2 ( 12alpha - 0 ) = A^22alpha :
integral0^+infty A^2 e^-2alpha x dx = A^2 [ -e^-2alpha x2alpha ]0^+infty = A^2 ( 0 - ( -12alpha ) ) = A^22alpha
Para :

Passo 6

Somando as duas integrais:
A^22alpha + A^22alpha = A^2alpha = 1
Resolvendo para A^2 = alpha A = raizalpha :

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo a .
Isso significa que precisamos integrar de a .

Passo 8

A probabilidade P = integral-12alpha^12alpha |psi(x)|^2 dx = integral-12alpha^0 A^2 e^2alpha x dx + integral0^12alpha A^2 e^-2alpha x dx é:

Passo 9

Substituindo P = alpha [ integral-12alpha^0 e^2alpha x dx + integral0^12alpha e^-2alpha x dx ] :
integral e^2alpha x dx = e^2alpha x2alpha integral e^-2alpha x dx = -e^-2alpha x2alpha
Calculando as integrais:

Passo 10

Aplicando os limites:
P = alpha [ ( e^2alpha x2alpha )-12alpha^0 + ( -e^-2alpha x2alpha )0^12alpha ]
Calculando cada parte:
Para a primeira integral:
e^02alpha - e^-12alpha = 1 - e^-12alpha
Para a segunda integral:
-e^-12alpha + 12alpha = 1 - e^-12alpha

Passo 11

Somando as duas partes:
P = alpha ( 1 - e^-12alpha + 1 - e^-12alpha ) = alpha ( 2(1 - e^-1)2alpha ) = 1 - e^-1

Resposta

a)
b) A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo a é ou aproximadamente 0,632.

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