Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
a) Determine
. b) Determine a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar do intervalo
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de onda de um elétron, que é uma parte fundamental da mecânica quântica. Nosso objetivo aqui é:
a) Determinar a constante
que normaliza a função de onda.
b) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo específico de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso é feito integrando o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualando a 1.
Então, temos:
Passo 3
A função de onda dada é:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos integrar
de
a
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 6
Somando as duas integrais:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo
a
.
Isso significa que precisamos integrar
de
a
.
Passo 8
A probabilidade
é:
Passo 9
Substituindo
:
Calculando as integrais:
Passo 10
Aplicando os limites:
Calculando cada parte:
Para a primeira integral:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 11
Somando as duas partes:
Resposta
a)
b) A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo
a
é
ou aproximadamente 0,632.