Para um sistema subamortecido submetido as condições iniciais x0=0, v0=10 mm / s. Determine a massa, rigidez e amortecimento de um sistema, considerando que a máxima amplitude seja menor que 1 mm . (note que existem diversas soluções para o problema).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema subamortecido com condições iniciais e . Nosso objetivo é determinar a massa ( ), a rigidez ( ) e o amortecimento ( ) desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas oscilatórios, como frequência natural, fator de amortecimento e a equação diferencial que descreve o movimento. Também vamos usar a condição de que a máxima amplitude seja menor que 1 mm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema subamortecido segue a equação diferencial:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Aqui, é a aceleração, é a velocidade e é o deslocamento.

Passo 3

Em sistemas oscilatórios, a frequência natural ( omegan = raizkm ) é dada por:
zeta = c2 raizk m
E o fator de amortecimento ( omegad = omegan raiz1 - zeta^2 ) é:
Como o sistema é subamortecido ( ), a frequência amortecida ( ) é:

Passo 4

A solução para o deslocamento x(t) = e^-zeta omegan t ( x0 cos(omegad t) + ( v0 + zeta omegan x0omegad ) sin(omegad t) ) em um sistema subamortecido com as condições iniciais dadas é:
x(t) = e^-zeta omegan t ( v0omegad sin(omegad t) )
Como Amáx = v0omegad , simplificamos para:
A máxima amplitude ocorre quando , então:
á

Passo 5

Queremos que 10omegad < 1 implies omegad > 10 , rad/s á e sabemos que omegan raiz1 - zeta^2 > 10 . Portanto:
Substituindo :

Passo 6

Vamos expressar k = m omegan^2 e c = 2 zeta omegan m em termos de e :
Agora, precisamos escolher valores que satisfaçam . Como há várias soluções possíveis, vamos supor um valor para maior que 10 rad/s, por exemplo, .

Passo 7

Com 12 raiz1 - zeta^2 > 10 implies raiz1 - zeta^2 > 1012 implies 1 - zeta^2 > ( 56 )^2 implies zeta^2 < 1 - 2536 = 1136 implies zeta < raiz1136 approx 0,55 , temos:
Vamos escolher para facilitar os cálculos.

Passo 8

Agora, calculamos k = m omegan^2 = 1 times 12^2 = 144 , N/m e c = 2 zeta omegan m = 2 times 0,5 times 12 times 1 = 12 , Ns/m usando , e assumindo um valor para . Vamos supor :

Resposta

Uma possível solução para o sistema é:
m = 1 , kg, k = 144 , N/m, c = 12 , Ns/m

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