Para um sistema subamortecido submetido as condições iniciais
. Determine a massa, rigidez e amortecimento de um sistema, considerando que a máxima amplitude seja menor que 1 mm . (note que existem diversas soluções para o problema).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema subamortecido com condições iniciais
e
. Nosso objetivo é determinar a massa (
), a rigidez (
) e o amortecimento (
) desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas oscilatórios, como frequência natural, fator de amortecimento e a equação diferencial que descreve o movimento. Também vamos usar a condição de que a máxima amplitude seja menor que 1 mm.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema subamortecido segue a equação diferencial:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade e
é o deslocamento.
Passo 3
Em sistemas oscilatórios, a frequência natural (
) é dada por:
E o fator de amortecimento (
) é:
Como o sistema é subamortecido (
), a frequência amortecida (
) é:
Passo 4
A solução para o deslocamento
em um sistema subamortecido com as condições iniciais dadas é:
Como
, simplificamos para:
A máxima amplitude ocorre quando
, então:
Passo 5
Queremos que
e sabemos que
. Portanto:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Agora, precisamos escolher valores que satisfaçam
. Como há várias soluções possíveis, vamos supor um valor para
maior que 10 rad/s, por exemplo,
.
Passo 7
Com
, temos:
Vamos escolher
para facilitar os cálculos.
Passo 8
Agora, calculamos
e
usando
,
e assumindo um valor para
. Vamos supor
:
Resposta
Uma possível solução para o sistema é: