Para um sistema subamortecido submetido as condições iniciais . Determine a massa, rigidez e amortecimento de um sistema, considerando que a máxima amplitude seja menor que 1 mm . (note que existem diversas soluções para o problema).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema subamortecido com condições iniciais e . Nosso objetivo é determinar a massa ( ), a rigidez ( ) e o amortecimento ( ) desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas oscilatórios, como frequência natural, fator de amortecimento e a equação diferencial que descreve o movimento. Também vamos usar a condição de que a máxima amplitude seja menor que 1 mm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema subamortecido segue a equação diferencial:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade e é o deslocamento.

Passo 3

Em sistemas oscilatórios, a frequência natural ( ) é dada por:
E o fator de amortecimento ( ) é:
Como o sistema é subamortecido ( ), a frequência amortecida ( ) é:

Passo 4

A solução para o deslocamento em um sistema subamortecido com as condições iniciais dadas é:
Como , simplificamos para:
A máxima amplitude ocorre quando , então:
á

Passo 5

Queremos que á e sabemos que . Portanto:
Substituindo :

Passo 6

Vamos expressar e em termos de e :
Agora, precisamos escolher valores que satisfaçam . Como há várias soluções possíveis, vamos supor um valor para maior que 10 rad/s, por exemplo, .

Passo 7

Com , temos:
Vamos escolher para facilitar os cálculos.

Passo 8

Agora, calculamos e usando , e assumindo um valor para . Vamos supor :

Resposta

Uma possível solução para o sistema é:

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