Para cada um dos estados de tensão plana listados a seguir, desenhe um diagrama de círculo de Mohr rotulado apropriadamente, encontre as tensões de cisalhamento e normais principais e determine o ângulo de x até sigma1. Desenhe os elementos de tensão orientados nas direções principais.
b-sigmax=9 MPa, sigmay=-19 MPa, taux y=8 MPa no sentido horário (na face da direita).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensão plana usando o diagrama de Mohr. A gente tem as tensões em duas direções, MPa, MPa, e a tensão de cisalhamento MPa direcionada no sentido horário na face direita. Para resolver, vamos precisar entender como construir o círculo de Mohr, identificar as tensões principais (as maiores e menores tensões normais) e calcular o ângulo entre a direção e a direção da tensão principal maior.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio do círculo de Mohr. O centro C = sigmax + sigmay2 = 9 + (-19)2 = -102 = -5 MPa do círculo é a média das tensões normais:
R = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Agora, calculamos o raio R = raiz(9 - (-19)2)^2 + 8^2 = raiz(282)^2 + 64 = raiz14^2 + 64 = raiz196 + 64 = raiz260 approx 16.12 MPa do círculo usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 3

As tensões principais sigma1 = C + R = -5 + 16.12 = 11.12 MPa e sigma2 = C - R = -5 - 16.12 = -21.12 MPa são encontradas adicionando e subtraindo o raio do centro:
Essas são as tensões normais principais. As tensões de cisalhamento nas direções principais são sempre zero, já que são as direções onde a tensão de cisalhamento se anula.

Passo 4

Para encontrar o ângulo tan(2theta) = 2tauxysigmax - sigmay entre a direção tan(2theta) = 2 times 89 - (-19) = 1628 = 47 e a direção de 2theta = arctan(47) approx 29.74^circ , usamos a seguinte relação:
theta = 29.74^circ2 approx 14.87^circ
Substituindo os valores:
Agora, calculamos :
Então, o ângulo é:

Passo 5

Por fim, vamos desenhar os elementos de tensão orientados nas direções principais. Nessa orientação, as tensões normais principais MPa e MPa atuarão nas direções e , respectivamente, sem tensões de cisalhamento.

Resposta

As tensões principais são MPa e MPa. A tensão de cisalhamento nas direções principais é zero. O ângulo entre a direção e a direção da tensão principal maior é aproximadamente . Além disso, os elementos de tensão orientados nas direções principais mostram as tensões e atuando sem cisalhamento.

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