Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2, respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes:
a) os componentes são ligados em série (isto é, ambos devem funcionar para que o sistema funcione);
b) os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).
a) os componentes são ligados em série (isto é, ambos devem funcionar para que o sistema funcione);
b) os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).
Passo 1
Beleza! A gente tem um sistema com dois componentes que funcionam de forma independente. A probabilidade de falha do componente 1 é 0,1 e do componente 2 é 0,2. Vamos calcular a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos:
a) Quando os componentes estão ligados em série (ambos precisam funcionar).
b) Quando os componentes estão ligados em paralelo (pelo menos um precisa funcionar).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente sobre eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os componentes estão em série. Em uma conexão em série, ambos os componentes precisam funcionar para que o sistema funcione. Então, para encontrar a probabilidade de o sistema funcionar, precisamos calcular a probabilidade de ambos os componentes funcionarem ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de cada componente funcionar. Sabemos que a probabilidade de falha do componente 1 é 0,1, então a probabilidade de ele funcionar é:
Da mesma forma, para o componente 2, com probabilidade de falha 0,2:
Passo 4
Como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade de ambos funcionarem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades individuais. Então, a probabilidade do sistema funcionar quando está em série é:
Passo 5
Agora, vamos para o caso paralelo. Quando os componentes estão ligados em paralelo, basta que pelo menos um dos componentes funcione para que o sistema funcione. Para encontrar essa probabilidade, é mais fácil calcular a probabilidade de ambos os componentes falharem e subtrair esse valor de 1.
Passo 6
Primeiro, calculamos a probabilidade de cada componente falhar, que já sabemos:
- Componente 1 falha: 0,1
- Componente 2 falha: 0,2
Como são eventos independentes, a probabilidade de ambos falharem é:
Passo 7
Então, a probabilidade de pelo menos um funcionar é:
Resposta
a) A probabilidade do sistema funcionar em série é 0,72.
b) A probabilidade do sistema funcionar em paralelo é 0,98.