Está sendo avaliada a qualidade de um lote de peças numa indústria cerâmica, onde estão misturados 30 pisos e 40 azulejos.
a) retira-se uma peça ao acaso do lote e observa-se o tipo de cerâmica.
Construa o modelo probabilístico para esta situação;
b) retiram-se duas peças ao acaso do lote,) uma após a outra, com reposição, e observa-se o tipo de cerâmica, Construa o modelo probabilístico para esta situação;
c) repita 0 item (b), supondo que-hão haja reposição;
d) registros anteriores da qualidade indicaram que 1,5% dos azulejos e cerca de 0,7% dos pisos apresentaram defeitos. Retira-se, ao acaso,
uma peça do lote. Qual é a probabilidade de a peça apresentar defeito?
e) para as condições do item (d), qual é a probabilidade de a peça ser piso, uma vez que apresentou defeito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da avaliação da qualidade de um lote de peças numa indústria cerâmica, onde temos 30 pisos e 40 azulejos misturados. Vamos usar probabilidades para modelar diferentes situações de retirada dessas peças. Precisamos entender como calcular essas probabilidades em diferentes cenários, como retiradas com ou sem reposição, e também calcular a chance de uma peça ser defeituosa e ser um piso dado que está defeituosa.

Passo 2

Parte a): Primeiro, vamos construir o modelo probabilístico para a situação onde retiramos uma peça ao acaso e observamos o tipo de cerâmica.
  • Total de peças: 30 pisos + 40 azulejos = 70 peças.
  • Eventos:
    • Retirar um piso §.
    • Retirar um azulejo (A).
  • Probabilidades:
    • $ P§ = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} $
    • $ P(A) = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} $
Então, o modelo probabilístico é simples, com duas possíveis saídas: piso ou azulejo, com as probabilidades calculadas acima.

Passo 3

Parte b): Agora, vamos construir o modelo probabilístico para a situação onde retiramos duas peças ao acaso, uma após a outra, com reposição (ou seja, a peça retirada é colocada de volta antes da próxima retirada).
  • Eventos possíveis para cada retirada:
    • Piso § ou Azulejo (A).
  • Probabilidades permanecem as mesmas devido à reposição:
    • $ P§ = \frac{3}{7} $
    • $ P(A) = \frac{4}{7} $
  • Combinando as duas retiradas, temos quatro possibilidades:
    1. Piso e depois Piso: $ P§ \times P§ = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49} $
    2. Piso e depois Azulejo: $ P§ \times P(A) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{49} $
    3. Azulejo e depois Piso: $ P(A) \times P§ = \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{49} $
    4. Azulejo e depois Azulejo: $ P(A) \times P(A) = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} $
Esse é o modelo probabilístico para duas retiradas com reposição.

Passo 4

Parte c): Agora, vamos considerar a retirada de duas peças sem reposição (ou seja, a peça retirada não é colocada de volta antes da próxima retirada).
  • Primeira retirada:
    • $ P(P_1) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} $
    • $ P(A_1) = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} $
  • Segunda retirada:
    • Se a primeira foi um piso, restam 29 pisos e 40 azulejos:
      • $ P(P_2|P_1) = \frac{29}{69} $
      • $ P(A_2|P_1) = \frac{40}{69} $
    • Se a primeira foi um azulejo, restam 30 pisos e 39 azulejos:
      • $ P(P_2|A_1) = \frac{30}{69} $
      • $ P(A_2|A_1) = \frac{39}{69} $
  • Combinando as retiradas:
    1. Piso e depois Piso: $ \frac{3}{7} \times \frac{29}{69} = \frac{87}{483} $
    2. Piso e depois Azulejo: $ \frac{3}{7} \times \frac{40}{69} = \frac{120}{483} $
    3. Azulejo e depois Piso: $ \frac{4}{7} \times \frac{30}{69} = \frac{120}{483} $
    4. Azulejo e depois Azulejo: $ \frac{4}{7} \times \frac{39}{69} = \frac{156}{483} $
Esse é o modelo probabilístico para duas retiradas sem reposição.

Passo 5

Parte d): Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça retirada ao acaso apresentar defeito. Sabemos que:
  • 1,5% dos azulejos são defeituosos.
  • 0,7% dos pisos são defeituosos.
Vamos calcular usando a Lei da Probabilidade Total.
  • Probabilidades de defeito:
    • $ P(D|P) = 0,007 $
    • $ P(D|A) = 0,015 $
  • Probabilidade total de defeito:
    P(D|P) = 0,007
    P(D|A) = 0,015
    P(D) = P(P) times P(D|P) + P(A) times P(D|A) = 37 times 0,007 + 47 times 0,015

Passo 6

Parte e): Queremos a probabilidade de a peça ser um piso, dado que ela apresentou defeito. Isso é um exemplo de Probabilidade Condicional.
Usamos a fórmula de Bayes:
P(P|D) = P(D|P) times P(P)P(D)
Já temos os valores:
  • $ P(D|P) = 0,007 $
  • $ P§ = \frac{3}{7} $
  • $ P(D) \approx 0,011571 $
Então:
P(D|P) = 0,007
P(P) = 37

Resposta

A probabilidade de a peça ser um piso, dado que apresentou defeito, é aproximadamente 25,97%.

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