Está sendo avaliada a qualidade de um lote de peças numa indústria cerâmica, onde estão misturados 30 pisos e 40 azulejos.
a) retira-se uma peça ao acaso do lote e observa-se o tipo de cerâmica.
Construa o modelo probabilístico para esta situação;
b) retiram-se duas peças ao acaso do lote,) uma após a outra, com reposição, e observa-se o tipo de cerâmica, Construa o modelo probabilístico para esta situação;
c) repita 0 item (b), supondo que-hão haja reposição;
d) registros anteriores da qualidade indicaram que 1,5% dos azulejos e cerca de 0,7% dos pisos apresentaram defeitos. Retira-se, ao acaso,
uma peça do lote. Qual é a probabilidade de a peça apresentar defeito?
e) para as condições do item (d), qual é a probabilidade de a peça ser piso, uma vez que apresentou defeito?
a) retira-se uma peça ao acaso do lote e observa-se o tipo de cerâmica.
Construa o modelo probabilístico para esta situação;
b) retiram-se duas peças ao acaso do lote,) uma após a outra, com reposição, e observa-se o tipo de cerâmica, Construa o modelo probabilístico para esta situação;
c) repita 0 item (b), supondo que-hão haja reposição;
d) registros anteriores da qualidade indicaram que 1,5% dos azulejos e cerca de 0,7% dos pisos apresentaram defeitos. Retira-se, ao acaso,
uma peça do lote. Qual é a probabilidade de a peça apresentar defeito?
e) para as condições do item (d), qual é a probabilidade de a peça ser piso, uma vez que apresentou defeito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da avaliação da qualidade de um lote de peças numa indústria cerâmica, onde temos 30 pisos e 40 azulejos misturados. Vamos usar probabilidades para modelar diferentes situações de retirada dessas peças. Precisamos entender como calcular essas probabilidades em diferentes cenários, como retiradas com ou sem reposição, e também calcular a chance de uma peça ser defeituosa e ser um piso dado que está defeituosa.
Passo 2
Parte a): Primeiro, vamos construir o modelo probabilístico para a situação onde retiramos uma peça ao acaso e observamos o tipo de cerâmica.
-
Total de peças: 30 pisos + 40 azulejos = 70 peças.
-
Eventos:
- Retirar um piso §.
- Retirar um azulejo (A).
-
Probabilidades:
- $ P§ = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} $
- $ P(A) = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} $
Então, o modelo probabilístico é simples, com duas possíveis saídas: piso ou azulejo, com as probabilidades calculadas acima.
Passo 3
Parte b): Agora, vamos construir o modelo probabilístico para a situação onde retiramos duas peças ao acaso, uma após a outra, com reposição (ou seja, a peça retirada é colocada de volta antes da próxima retirada).
-
Eventos possíveis para cada retirada:
- Piso § ou Azulejo (A).
-
Probabilidades permanecem as mesmas devido à reposição:
- $ P§ = \frac{3}{7} $
- $ P(A) = \frac{4}{7} $
-
Combinando as duas retiradas, temos quatro possibilidades:
- Piso e depois Piso: $ P§ \times P§ = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49} $
- Piso e depois Azulejo: $ P§ \times P(A) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{49} $
- Azulejo e depois Piso: $ P(A) \times P§ = \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{49} $
- Azulejo e depois Azulejo: $ P(A) \times P(A) = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} $
Esse é o modelo probabilístico para duas retiradas com reposição.
Passo 4
Parte c): Agora, vamos considerar a retirada de duas peças sem reposição (ou seja, a peça retirada não é colocada de volta antes da próxima retirada).
-
Primeira retirada:
- $ P(P_1) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} $
- $ P(A_1) = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} $
-
Segunda retirada:
- Se a primeira foi um piso, restam 29 pisos e 40 azulejos:
- $ P(P_2|P_1) = \frac{29}{69} $
- $ P(A_2|P_1) = \frac{40}{69} $
- Se a primeira foi um azulejo, restam 30 pisos e 39 azulejos:
- $ P(P_2|A_1) = \frac{30}{69} $
- $ P(A_2|A_1) = \frac{39}{69} $
- Se a primeira foi um piso, restam 29 pisos e 40 azulejos:
-
Combinando as retiradas:
- Piso e depois Piso: $ \frac{3}{7} \times \frac{29}{69} = \frac{87}{483} $
- Piso e depois Azulejo: $ \frac{3}{7} \times \frac{40}{69} = \frac{120}{483} $
- Azulejo e depois Piso: $ \frac{4}{7} \times \frac{30}{69} = \frac{120}{483} $
- Azulejo e depois Azulejo: $ \frac{4}{7} \times \frac{39}{69} = \frac{156}{483} $
Esse é o modelo probabilístico para duas retiradas sem reposição.
Passo 5
Parte d): Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça retirada ao acaso apresentar defeito. Sabemos que:
- 1,5% dos azulejos são defeituosos.
- 0,7% dos pisos são defeituosos.
Vamos calcular usando a Lei da Probabilidade Total.
-
Probabilidades de defeito:
- $ P(D|P) = 0,007 $
- $ P(D|A) = 0,015 $
-
Probabilidade total de defeito:
Passo 6
Parte e): Queremos a probabilidade de a peça ser um piso, dado que ela apresentou defeito. Isso é um exemplo de Probabilidade Condicional.
Usamos a fórmula de Bayes:
Já temos os valores:
- $ P(D|P) = 0,007 $
- $ P§ = \frac{3}{7} $
- $ P(D) \approx 0,011571 $
Então:
Resposta
A probabilidade de a peça ser um piso, dado que apresentou defeito, é aproximadamente 25,97%.