Sob condições de funcionamento em regime permanente, a temperatura superficial de uma pequena lâmpada incandescente atinge 100^circ C, quando as temperaturas do ar ambiente e das paredes da sala são 12^circ C e 5^circ C, respectivamente. Aproximando a forma da lâmpada por uma esfera de 50 mm de diâmetro, sabendo-se que o coeficiente de convecção natural ao redor da esfera é igual a 8 W /(m^2 ^circ C) e considerando uma emissividade do material da lâmpada de 0,6 ; determine a taxa de transferência de calor da lâmpada nesta condição de funcionamento, e discuta se nesse caso seria possível desconsiderar os efeitos da radiação baseado nos cálculos realizados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma lâmpada incandescente pequena, que estamos pensando como uma esfera de 50 mm de diâmetro. A temperatura da lâmpada está em 100°C, o ar ao redor está em 12°C e as paredes da sala estão em 5°C. Sabemos também que o coeficiente de convecção natural ao redor da esfera é de 8 W/(m²°C) e a emissividade do material da lâmpada é 0,6.
Nosso objetivo é descobrir qual é a taxa de transferência de calor dessa lâmpada nessas condições e ver se a gente pode ignorar os efeitos da radiação com base nos cálculos que fizermos.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar os conceitos de convecção e radiação térmica. Vamos calcular a transferência de calor por cada um desses processos e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície da lâmpada, já que vamos precisar dela para os cálculos de transferência de calor. A lâmpada é uma esfera, então usamos a fórmula da área de uma esfera:
A = 4 pi r^2
Onde A = 4 pi (0,025)^2 é o raio da esfera. Como o diâmetro é 50 mm, o raio A approx 4 times 3,1416 times 0,000625 é 25 mm ou 0,025 metros.
Então,
A approx 0,00785 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a transferência de calor por convecção. A fórmula para isso é:
Qconv = h times A times De
Onde:
  • De é o coeficiente de convecção (8 W/(m²°C))
  • Qconv = 8 times 0,00785 times 88 é a área que acabamos de calcular (0,00785 m²)
  • Qconv approx 5,52 , W é a diferença de temperatura entre a lâmpada e o ar ambiente.
A diferença de temperatura é:
â
Então,
Isso significa que a lâmpada está perdendo cerca de 5,52 watts de calor por convecção.

Passo 4

Agora, vamos calcular a transferência de calor por radiação térmica. A fórmula para a radiação é dada por:
Qrad = varepsilon times sigma times A times (Tlâmpada^4 - Tamb^4) â
Onde:
  • Tlâmpada = 100 + 273,15 = 373,15 , K é a emissividade do material (0,6)
  • Tamb = 12 + 273,15 = 285,15 , K é a constante de Stefan-Boltzmann ( Tparedes = 5 + 273,15 = 278,15 , K )
  • Qrad = 0,6 times 5,67 times 10^-8 times 0,00785 times (373,15^4 - 285,15^4) é a área da superfície (0,00785 m²)
  • 373,15^4 approx 1,937 times 10^10 são as temperaturas absolutas em Kelvin.
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
285,15^4 approx 6,614 times 10^9 â
Qrad = 0,6 times 5,67 times 10^-8 times 0,00785 times (1,937 times 10^10 - 6,614 times 10^9)
Qrad = 0,6 times 5,67 times 10^-8 times 0,00785 times 1,275 times 10^10
Considerando que a radiação também pode ocorrer em relação às paredes da sala, mas para simplificar, vamos calcular apenas a radiação para o ambiente.
Então,
Qrad approx 0,6 times 5,67 times 10^-8 times 0,00785 times 1,275 times 10^10
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos Qrad approx 0,6 times 5,67 times 0,00785 times 1,275 times 10^2 :
Qrad approx 0,6 times 5,67 times 0,00785 times 127,5
Qrad approx 0,6 times 5,67 times 1
Então,
Qrad approx 3,4 , W

Passo 5

Agora que temos as duas taxas de transferência de calor, por convecção e por radiação, vamos compará-las.
  • Transferência por convecção: 5,52 W
  • Transferência por radiação: 3,4 W
A transferência total de calor Qtotal = Qconv + Qrad = 5,52 + 3,4 = 8,92 , W é a soma das duas:

Passo 6

Para decidir se podemos desconsiderar os efeitos da radiação, vamos comparar as duas taxas de transferência de calor.
A transferência por radiação (3,4 W) representa aproximadamente 38% da transferência total de calor (8,92 W). Isso é uma fração significativa, o que indica que a radiação não pode ser ignorada nesse caso.

Resposta

A taxa total de transferência de calor da lâmpada é de aproximadamente 8,92 W. Como a transferência por radiação representa cerca de 38% dessa taxa, não é possível desconsiderar os efeitos da radiação nesse cenário.

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