Sob condições normais, realizaram-se dez observações sobre o tempo de resposta de uma consulta a certo banco de dados. Os resultados, em segundos, foram:
Construa um intervalo de confiança para o tempo médio de uma consulta, sob condições normais. Use
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Construa um intervalo de confiança para o tempo médio de uma consulta, sob condições normais. Use
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o tempo que um banco de dados leva para responder uma consulta. Foram feitas 10 medições desses tempos, e os valores, em segundos, são: 28, 35, 43, 23, 62, 38, 34, 27, 32 e 37. A tarefa é construir um intervalo de confiança para o tempo médio de resposta desse banco de dados, considerando que as condições são normais (ou seja, seguem uma distribuição normal) e com um nível de confiança de 99% (γ = 0,99). Para resolver isso, vamos precisar calcular a média, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de resposta. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos dá uma ideia de quão dispersos os tempos estão em relação à média. Primeiro, vamos calcular a variância da amostra.
Calculando cada
:
Somando esses valores:
Agora, calculamos a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Como a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. Precisamos encontrar o valor crítico $ t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} $ para um nível de confiança de 99%, ou seja,
. O nível de significância
, então
. Com 9 graus de liberdade (n - 1 = 10 - 1 = 9), consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 99% para o tempo médio de uma consulta ao banco de dados está entre 22,65 segundos e 45,15 segundos.