Sob condições normais, realizaram-se dez observações sobre o tempo de resposta de uma consulta a certo banco de dados. Os resultados, em segundos, foram:
llllllllll28 & 35 & 43 & 23 & 62 & 38 & 34 & 27 & 32 & 37
Construa um intervalo de confiança para o tempo médio de uma consulta, sob condições normais. Use gamma=0,99.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o tempo que um banco de dados leva para responder uma consulta. Foram feitas 10 medições desses tempos, e os valores, em segundos, são: 28, 35, 43, 23, 62, 38, 34, 27, 32 e 37. A tarefa é construir um intervalo de confiança para o tempo médio de resposta desse banco de dados, considerando que as condições são normais (ou seja, seguem uma distribuição normal) e com um nível de confiança de 99% (γ = 0,99). Para resolver isso, vamos precisar calcular a média, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de resposta. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Média (barx) = 28 + 35 + 43 + 23 + 62 + 38 + 34 + 27 + 32 + 3710 = 33910 = 33,9 segundos é

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos dá uma ideia de quão dispersos os tempos estão em relação à média. Primeiro, vamos calcular a variância da amostra.
Variância (s^2) = sum (xi - barx)^2n - 1 â
Calculando cada (xi - barx)^2:
(28 - 33,9)^2 = 34,81
(35 - 33,9)^2 = 1,21
(43 - 33,9)^2 = 82,81
(23 - 33,9)^2 = 118,81
(62 - 33,9)^2 = 789,61
(38 - 33,9)^2 = 16,81
(34 - 33,9)^2 = 0,01
(27 - 33,9)^2 = 47,61
(32 - 33,9)^2 = 3,61
(37 - 33,9)^2 = 9,61
Somando esses valores:
34,81 + 1,21 + 82,81 + 118,81 + 789,61 + 16,81 + 0,01 + 47,61 + 3,61 + 9,61 = 1084,1
Agora, calculamos a variância:
s^2 = 1084,110 - 1 = 1084,19 approx 120,4556
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
s approx raiz120,4556 approx 10,98 segundos

Passo 4

Como a amostra é pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. Precisamos encontrar o valor crítico $ t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} $ para um nível de confiança de 99%, ou seja, talpha2, n-1 . O nível de significância gamma = 0,99, então alpha = 1 - gamma = 0,01. Com 9 graus de liberdade (n - 1 = 10 - 1 = 9), consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos:
alpha2 = 0,005

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = talpha2, n-1 times sraizn
Substituindo os valores:
ME = 3,25 times 10,98raiz10 approx 3,25 times 10,983,1623 approx 3,25 times 3,469 approx 11,25 segundos

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média:
Intervalo de Confiança = barx pm ME = 33,9 pm 11,25 ç
Isso nos dá:
Limite Inferior = 33,9 - 11,25 = 22,65 segundos
Limite Superior = 33,9 + 11,25 = 45,15 segundos

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para o tempo médio de uma consulta ao banco de dados está entre 22,65 segundos e 45,15 segundos.

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