Fixados certos parâmetros de entrada, o tempo de execução de um algoritmo foi medido 12 vezes, obtendo-se os seguintes resultados, em minutos:
llllllllllll15 & 12 & 14 & 15 & 16 & 14 & 16 & 13 & 14 & 11 & 15 & 13
Considerando as 12 mensurações como uma amostra piloto, avalie o número de mensurações (tamanho da amostra) necessário para garantir um erro máximo de 15 segundos ( 0,25 minutos). Use gamma=0,95.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve medir o tempo de execução de um algoritmo. Foram tiradas 12 medidas em minutos: 15, 12, 14, 15, 16, 14, 16, 13, 14, 11, 15 e 13. A ideia é usar essas 12 medições como uma amostra piloto para descobrir quantas medições a gente precisa fazer no total para garantir que o erro na média seja no máximo 0,25 minutos (15 segundos), com um nível de confiança de 95%. Vamos usar conceitos de Estatística, mais especificamente de estimação de tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão dessa amostra piloto, porque ele vai nos ajudar a entender a variabilidade dos tempos de execução. O desvio padrão é uma medida que nos diz o quanto os valores individuais estão espalhados em relação à média.
Vamos calcular a média ( barx) da amostra:
barx = 15 + 12 + 14 + 15 + 16 + 14 + 16 + 13 + 14 + 11 + 15 + 1312 = 16812 = 14
Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s):
s = raizsum(xi - barx)^2n - 1
Calculando cada (xi - barx)^2:
(15-14)^2 = 1, (12-14)^2 = 4, (14-14)^2 = 0, (15-14)^2 = 1,
(16-14)^2 = 4, (14-14)^2 = 0, (16-14)^2 = 4, (13-14)^2 = 1,
(14-14)^2 = 0, (11-14)^2 = 9, (15-14)^2 = 1, (13-14)^2 = 1
Somando todos esses valores:
1 + 4 + 0 + 1 + 4 + 0 + 4 + 1 + 0 + 9 + 1 + 1 = 26
Então,
s = raiz2612 - 1 = raiz2611 approx raiz2,36 approx 1,54

Passo 3

Agora que temos o desvio padrão da amostra piloto ( s approx 1,54 minutos), vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário ( n) para estimar a média com um erro máximo ( E) de 0,25 minutos e um nível de confiança de 95% ( gamma = 0,95).
A fórmula é:
n = ( Z cdot sE )^2
Onde:
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • s é o desvio padrão da amostra piloto.
  • E é o erro máximo tolerado.
Para um nível de confiança de 95%, o valor de Z é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
n = ( 1,96 cdot 1,540,25 )^2
Primeiro, calcula o numerador:
1,96 cdot 1,54 approx 3,02
Depois divide pelo erro:
3,020,25 approx 12,08
Agora, eleva ao quadrado:
n approx (12,08)^2 approx 145,94
Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n approx 146

Resposta

Para garantir um erro máximo de 0,25 minutos com nível de confiança de 95%, é necessário realizar aproximadamente 146 medições.

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