Fixados certos parâmetros de entrada, o tempo de execução de um algoritmo foi medido 12 vezes, obtendo-se os seguintes resultados, em minutos:
llllllllllll15 & 12 & 14 & 15 & 16 & 14 & 16 & 13 & 14 & 11 & 15 & 13
Apresente um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio de execução do algoritmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução de um algoritmo, com base em 12 medidas que foram feitas. Isso está dentro do assunto de Estatística Inferencial, mais especificamente sobre Intervalos de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média das medidas, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (n = 12) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de execução. Para isso, somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
Temos os seguintes tempos (em minutos): 15, 12, 14, 15, 16, 14, 16, 13, 14, 11, 15, 13.
Média (barx) = 15 + 12 + 14 + 15 + 16 + 14 + 16 + 13 + 14 + 11 + 15 + 1312 é
barx = 16812 = 14
Então, a média dos tempos é 14 minutos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos dá uma ideia de quão espalhados os dados estão em relação à média.
A fórmula do desvio padrão da amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(15 - 14)^2 &= 1 (12 - 14)^2 &= 4 (14 - 14)^2 &= 0 (15 - 14)^2 &= 1 (16 - 14)^2 &= 4 (14 - 14)^2 &= 0 (16 - 14)^2 &= 4 (13 - 14)^2 &= 1 (14 - 14)^2 &= 0 (11 - 14)^2 &= 9 (15 - 14)^2 &= 1 (13 - 14)^2 &= 1
Somando tudo:
sum (xi - barx)^2 = 1 + 4 + 0 + 1 + 4 + 0 + 4 + 1 + 0 + 9 + 1 + 1 = 26
Agora, aplicamos na fórmula:
s = raiz2612 - 1 = raiz2611 approx raiz2.3636 approx 1.538
O desvio padrão da amostra é aproximadamente 1,538 minutos.

Passo 4

Como temos uma amostra pequena (n = 12) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico (t*) que corresponde a um intervalo de confiança de 95%.
Primeiro, determinamos os graus de liberdade (df):
df = n - 1 = 12 - 1 = 11
Consultando uma tabela de t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que para df = 11 e um intervalo de confiança de 95%, o valor de t* é aproximadamente 2,201.

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = t^* times sraizn
Substituindo os valores:
ME = 2,201 times 1,538raiz12
Primeiro, calculamos raiz12:
raiz12 approx 3,464
Agora, a divisão:
1,5383,464 approx 0,444
Então:
ME = 2,201 times 0,444 approx 0,978
A margem de erro é aproximadamente 0,978 minutos.

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança usando a média e a margem de erro:
Intervalo de Confiança = barx pm ME ç
Substituindo os valores:
14 pm 0,978
Isso dá:
(14 - 0,978, 14 + 0,978)
(13,022, 14,978)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução do algoritmo é entre 13,02 minutos e 14,98 minutos.

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