Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 6, 11, 16, e assim sucessivamente, de cinco em cinco andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 3 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos João e Pedro trabalhando na reforma de um edifício.
- João fez reparos na parte hidráulica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim por diante, aumentando de três em três andares.
- Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 6, 11, 16, e assim por diante, aumentando de cinco em cinco andares.
Eles terminaram no último andar e, durante a reforma, em exatamente 3 andares, os dois fizeram reparos juntos. Nosso objetivo é descobrir quantos andares esse edifício tem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética e mínimo múltiplo comum (MMC).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as sequências de andares que João e Pedro trabalharam:
-
João: começa no andar 1 e sobe de 3 em 3 andares. Então, os andares que ele trabalha formam a sequência:Isso é uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo
e diferença . -
Pedro: começa no andar 1 e sobe de 5 em 5 andares. Então, os andares que ele trabalha formam a sequência:Essa também é uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo
e diferença .
Passo 3
Como ambos terminaram no último andar, o último andar, vamos chamar de $ N $, precisa estar nas duas sequências. Ou seja, $ N $ deve ser um termo das duas PAs.
Para João:
Para Pedro:
Então, temos:
Isso significa que $ N-1 $ é múltiplo de 3 e de 5, ou seja, múltiplo de 15 (que é o mínimo múltiplo comum de 3 e 5).
Logo:
Passo 4
Agora, vamos descobrir quantos andares foram trabalhados juntos por João e Pedro.
Sabemos que eles trabalharam juntos em exatamente 3 andares. Esses andares são os que aparecem em ambas as sequências, ou seja, são os termos comuns às duas PAs.
A cada $ 15 $ andares, eles vão se encontrar em 1 andar. Como o primeiro andar (andar 1) já é um deles, os próximos encontros serão a cada $ 15 $ andares depois.
Então, os andares compartilhados serão:
Como há 3 andares em comum, podemos escrever:
Passo 5
Agora, substituímos $ p = 2 $ na equação que encontramos para $ N $:
Resposta
O edifício tem 31 andares.