Sobre funções trigonométricas inversas, pede-se:
Prove que d/arccos(x) = -1/raiz(1 - x^2). Sugestão: derive a equação da definição da função inversa do cosseno x = cos(y(x)) implicitamente e use que sen^2(y) + cos^2(y) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a derivada da função arco-cosseno, ou seja, , em relação a x é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas. Precisaremos entender como derivar implicitamente e utilizar a identidade trigonométrica .

Passo 2

Primeiro, vamos começar definindo y como a função arco-cosseno de x. Ou seja,
Isso significa que x é igual ao cosseno de y:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que estamos assumindo que y é uma função de x, então usamos a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando ambos os lados:
Simplificando a derivada do lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada do cosseno, que é , multiplicado pela derivada de y em relação a x devido à regra da cadeia.

Passo 5

Agora, queremos isolar . Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 6

Para expressar em termos de x, usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Sabemos que , então substituímos:
Isolando :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão da derivada:
Portanto, chegamos à expressão desejada para a derivada da função arco-cosseno.

Resposta

A derivada da função arco-cosseno em relação a x é:

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