Sobre funções trigonométricas inversas, pede-se:
Prove que
. Sugestão: derive a equação da definição da função inversa do cosseno
implicitamente e use que
.
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a derivada da função arco-cosseno, ou seja,
, em relação a
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas. Precisaremos entender como derivar implicitamente e utilizar a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Primeiro, vamos começar definindo
como a função arco-cosseno de
. Ou seja,
Isso significa que
é igual ao cosseno de
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que estamos assumindo que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia.
Passo 4
Derivando ambos os lados:
Simplificando a derivada do lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada do cosseno, que é
, multiplicado pela derivada de
em relação a
devido à regra da cadeia.
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Para expressar
em termos de
, usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Sabemos que
, então substituímos:
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão da derivada:
Portanto, chegamos à expressão desejada para a derivada da função arco-cosseno.
Resposta
A derivada da função arco-cosseno em relação a
é: