Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que achar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Onde
é o ponto de tangência.
Primeiro, vamos calcular
:
Resposta
Então, substituindo todos os valores na fórmula do plano tangente, temos:
Simplificando, fica: