Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado: z = x^2 + x*y + y^2 - 10*y + 5, (3, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que achar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Onde é o ponto de tangência.
Primeiro, vamos calcular :

Resposta

Então, substituindo todos os valores na fórmula do plano tangente, temos:
Simplificando, fica:

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