Encontre cada derivada parcial em relação às variáveis x e y, derivando as funções abaixo pela aplicação da definição formal de derivadas parciais: f(x, y) = 7 x^2 + 8 x y^2

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação às variáveis e . Estamos trabalhando com o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, utilizando a definição formal para calcular essas derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial e calcular os limites correspondentes para cada variável.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , representada por . Pela definição formal, temos:

Passo 3

Primeiro, calculamos :

Passo 4

Vamos expandir os termos:

Passo 5

Subtraímos de :

Passo 6

Dividimos a diferença encontrada por :

Passo 7

Calculamos o limite quando tende a zero:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , representada por . Pela definição formal:

Passo 9

Primeiro, calculamos :

Passo 10

Vamos expandir os termos:

Passo 11

Subtraímos de :

Passo 12

Dividimos a diferença encontrada por :

Passo 13

Calculamos o limite quando tende a zero:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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