Um solenoide com 1,30 m de comprimento e 2,60 cm de diâmetro conduz uma corrente de 18,0 A. O campo magnético no interior do solenoide é 23,0 mT. Determine o comprimento do fio que é feito o solenoide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um solenoide, que é basicamente um fio enrolado em forma de bobina. O problema nos dá o comprimento do solenoide, o diâmetro, a corrente elétrica que passa por ele e o campo magnético interno. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o comprimento total do fio usado para fazer esse solenoide. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a relação entre o campo magnético e as características do solenoide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona o campo magnético $ B $ dentro de um solenoide com seus parâmetros. A fórmula é:
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T \cdot m/A $), $ n $ é o número de espiras por metro, e $ I $ é a corrente elétrica.
Passo 3
A gente precisa encontrar o número de espiras $ N $ total do solenoide. Sabendo que $ n = \frac{N}{L} $, onde $ L $ é o comprimento do solenoide, podemos reorganizar a fórmula para encontrar $ N $:
Mas primeiro, vamos rearranjar a fórmula do campo magnético para encontrar $ n $:
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar $ n $:
- $ B = 23,0 , mT = 23,0 \times 10^{-3} , T $
- $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T \cdot m/A $
- $ I = 18,0 , A $
Então,
Passo 5
Calculando o valor de $ n $:
Passo 6
Agora que temos $ n $, podemos encontrar o número total de espiras $ N $:
Como não podemos ter uma fração de espira, arredondamos para $ N \approx 1323 , espiras $.
Passo 7
Para encontrar o comprimento total do fio, precisamos saber o comprimento de cada espira. O comprimento de uma espira é basicamente o perímetro de um círculo com diâmetro de 2,60 cm.
Primeiro, vamos encontrar o raio $ r $:
O perímetro de uma circunferência é dado por:
Então,
Passo 8
Agora, multiplicamos o comprimento de uma espira pelo número total de espiras para encontrar o comprimento total do fio $ L_f $:
Resposta
O comprimento total do fio utilizado no solenoide é de aproximadamente 108,0 metros.