Para um soluto de massa molar M , mostre que a concentração molar, M , e a molalidade, m, da solução estão relaciona- das pela fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar como a concentração molar (que chamamos de $ M $) e a molalidade (chamada de $ m $) de uma solução estão conectadas pela fórmula:
Aqui, $ d $ representa a densidade da solução. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de concentração molar, molalidade e densidade, e como elas se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
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Concentração Molar ($ M $): É a quantidade de mols do soluto por litro de solução. A fórmula é:
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Molalidade ($ m $): É a quantidade de mols do soluto por quilograma de solvente. A fórmula é:
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Densidade ($ d $): É a massa da solução por unidade de volume. A fórmula é:
Passo 3
Vamos considerar que temos $ n $ mols de soluto na nossa solução. A massa molar do soluto é $ M_{soluto} $, então a massa do soluto é:
Como a molalidade $ m $ é definida como mols de soluto por quilograma de solvente, podemos escrever:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, a massa total da solução é a soma da massa do soluto e da massa do solvente. Então:
Aqui, multiplicamos por 1000 para converter quilogramas em gramas.
Passo 5
A densidade $ d $ é a massa da solução dividida pelo volume da solução. Sabemos que a concentração molar $ M $ é mols de soluto por litro de solução, então:
Portanto, a densidade fica:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos cancelar o $ n $ no numerador e denominador:
Assumindo que $ M_{soluto} $ seja igual a $ M $ (massa molar igual à concentração molar, conforme a notação da questão), temos:
Resposta
Então, mostramos que a concentração molar $ M $ e a molalidade $ m $ estão relacionadas pela fórmula: