A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética é 65. Sabendo que o 5º termo é 19, o valor do 1º termo dessa progressão é
(A) 6.
(B) 7.
© 8.
(D) 9.
(E) 10.
(A) 6.
(B) 7.
© 8.
(D) 9.
(E) 10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma progressão aritmética (PA) onde a soma dos 5 primeiros termos é 65 e o 5º termo é 19. Nosso objetivo é descobrir qual é o primeiro termo dessa PA. Para isso, vamos usar as fórmulas da soma dos termos de uma PA e a fórmula para encontrar qualquer termo dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a soma dos primeiros $ n $ termos de uma PA. A fórmula é:
onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ primeiros termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ d $ é a razão da PA.
No nosso caso, $ S_5 = 65 $ e $ n = 5 $.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula da soma:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Dividindo ambos os lados por 5:
Podemos simplificar ainda mais dividindo tudo por 2:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação do 5º termo. A fórmula para o $ n $-ésimo termo de uma PA é:
Para o 5º termo:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ a_1 $:
Então, $ d = 3 $.
Passo 6
Agora que sabemos que $ d = 3 $, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar $ a_1 $:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Resposta
O valor do 1º termo dessa progressão é 7.
Alternativa (B) 7.
Alternativa (B) 7.