A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética é 65. Sabendo que o 5º termo é 19, o valor do 1º termo dessa progressão é
(A) 6.
(B) 7.
© 8.
(D) 9.
(E) 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma progressão aritmética (PA) onde a soma dos 5 primeiros termos é 65 e o 5º termo é 19. Nosso objetivo é descobrir qual é o primeiro termo dessa PA. Para isso, vamos usar as fórmulas da soma dos termos de uma PA e a fórmula para encontrar qualquer termo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a soma dos primeiros $ n $ termos de uma PA. A fórmula é:
n
onde:
  • $ S_n $ é a soma dos $ n $ primeiros termos,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ d $ é a razão da PA.
No nosso caso, $ S_5 = 65 $ e $ n = 5 $.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da soma:
65 = 52 times (2a1 + (5 - 1)d)
Simplificando:
65 = 52 times (2a1 + 4d)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
130 = 5 times (2a1 + 4d)
Dividindo ambos os lados por 5:
26 = 2a1 + 4d
Podemos simplificar ainda mais dividindo tudo por 2:
13 = a1 + 2d (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos usar a informação do 5º termo. A fórmula para o $ n $-ésimo termo de uma PA é:
n
Para o 5º termo:
an = a1 + (n - 1)d
Simplificando:
19 = a1 + (5 - 1)d çã

Passo 5

Agora temos duas equações:
13 = a1 + 2d (Equação 1) 19 = a1 + 4d (Equação 2) çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ a_1 $:
a1
(19) - (13) = (a1 + 4d) - (a1 + 2d)
Então, $ d = 3 $.

Passo 6

Agora que sabemos que $ d = 3 $, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar $ a_1 $:
d = 3
a1
Subtraindo 6 de ambos os lados:
13 = a1 + 2 times 3

Resposta

O valor do 1º termo dessa progressão é 7.
Alternativa (B) 7.

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