Subindo e descendo a colina. Uma rocha de 28,0 kg se aproxima da base de uma colina com velocidade escalar de 15 m / s. Essa colina tem incli- nação de baixo para cima a um ângulo constante de 40.0^circ 60.0 k acima da horizontal. O coeficiente de atrito estático e o coefi- ciente de atrito cinético entre a colina e a rocha são 0,75 e 0,20 , respectivamente. (a) Use a conservação de energia para determinar a altura máxima acima da base da colina atingida pela rocha. (b) A rocha permanecerá em repouso no seu ponto mais alto ou ela vai deslizar de volta para base? © Se a rocha deslizar de volta, ache sua velocidade quanto ela atingir a base da colina

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma rocha de massa 28,0 , kg que desce uma colina inclinada a 40,0^circ com uma velocidade inicial de 15 , m/s. O coeficiente de atrito estático é 0,75 e o cinético é 0,20. Precisamos usar a conservação de energia para encontrar a altura máxima que a rocha alcança acima da base da colina.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total é a soma da energia cinética e da energia potencial. Quando a rocha sobe, sua energia cinética diminui enquanto sua energia potencial aumenta. Além disso, o atrito realiza trabalho, dissipando energia.
A equação da conservação de energia fica:
Ecinética inicial = Epotencial final + Trabalho do atrito é
Ou seja:
12 m vi^2 = m g h + fatrito cdot d

Passo 3

Precisamos expressar a distância d em termos da altura h. Como a colina tem um ângulo de 40,0^circ, podemos usar a trigonometria:
sin(theta) = hd Rightarrow d = hsin(40,0^circ)

Passo 4

O atrito que age contra o movimento �� o atrito cinético, já que a rocha está em movimento. A força de atrito cinético é dada por:
fatrito = muk cdot N
Onde N é a força normal. Em uma inclinação, N = m g cos(theta), então:
fatrito = muk m g cos(40,0^circ)

Passo 5

Substituindo fatrito e d na equação da energia:
12 m vi^2 = m g h + muk m g cos(40,0^circ) cdot hsin(40,0^circ)

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por m:
12 vi^2 = g h + muk g cos(40,0^circ)sin(40,0^circ) h
12 vi^2 = g h (1 + muk cot(40,0^circ))

Passo 7

Isolando h:
h = 12 vi^2g (1 + muk cot(40,0^circ))

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • vi = 15 , m/s
  • g = 9,8 , m/s^2
  • muk = 0,20
  • theta = 40,0^circ
Primeiro, calculamos cot(40,0^circ):
cot(40,0^circ) = cos(40,0^circ)sin(40,0^circ) approx 0,8391 / 0,6428 approx 1,305
Então:
h = 0,5 times 15^29,8 times (1 + 0,20 times 1,305)
h = 0,5 times 2259,8 times (1 + 0,261)
h = 112,59,8 times 1,261
h = 112,512,36 approx 9,10 , m

Resposta

A altura máxima que a rocha atinge acima da base da colina é aproximadamente 9,10 , metros.

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