Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula
, onde
é a quantidade inicial da substância,
é uma constante positiva, e
é a quantidade remanescente após o tempo
. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre decaimento radioativo. A fórmula que descreve a quantidade de substância que resta após um tempo
é
. Aqui,
é a quantidade inicial,
é uma constante positiva, e
é a quantidade restante depois de
tempo. A gente precisa mostrar que a taxa de decaimento da substância é proporcional a
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar essa taxa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de decaimento. Matematicamente, isso significa a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Essa derivada nos diz como a quantidade de substância está mudando a cada instante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da derivada de funções exponenciais, sabemos que:
Isso simplifica para:
Passo 4
Observe que
. Então, podemos substituir
na expressão da derivada:
Passo 5
Essa equação mostra que a taxa de decaimento
é igual a
multiplicado por
. Isso significa que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade atual da substância
, já que
é uma constante.
Resposta
A taxa de decaimento da substância é proporcional a
, pois
.