Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula q(t) = q0 * e^(-ct), onde q 0 é a quantidade inicial da substância, c é uma constante positiva, e q(t) é a quantidade remanescente após o tempo t. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a q(t).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre decaimento radioativo. A fórmula que descreve a quantidade de substância que resta após um tempo é . Aqui, é a quantidade inicial, é uma constante positiva, e é a quantidade restante depois de tempo. A gente precisa mostrar que a taxa de decaimento da substância é proporcional a . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar essa taxa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de decaimento. Matematicamente, isso significa a derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Essa derivada nos diz como a quantidade de substância está mudando a cada instante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra da derivada de funções exponenciais, sabemos que:
Isso simplifica para:

Passo 4

Observe que . Então, podemos substituir na expressão da derivada:

Passo 5

Essa equação mostra que a taxa de decaimento é igual a multiplicado por . Isso significa que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade atual da substância , já que é uma constante.

Resposta

A taxa de decaimento da substância é proporcional a , pois .

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