A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas
e campo magnético
. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
A existência de um campo magético
resulta em um trabalho magnético
, onde
é a magnetização. A fase supercondutora é um diamagneto perfeito, expulsando o campo magnético do seu interior, tal que
- nas unidades apropriadas. Por outro lado, a fase
metálica normal é não magnética, com
. Com isto (e o calculado anteriormente), mostre que a fase supercondutora torna-se normal para campos magnéticos maiores que
obtendo também a expressão para
.
metálica normal é não magnética, com
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas fases de um metal: a supercondutora e a normal. Essas fases têm diferentes comportamentos em relação ao calor específico e à magnetização quando sujeitos a um campo magnético $ B $. A questão quer que a gente mostre que a fase supercondutora deixa de existir quando o campo magnético ultrapassa um certo valor $ B_c(T) $, que depende da temperatura $ T $. Além disso, precisamos encontrar a expressão para $ B_0 $, que é uma constante relacionada a essa transição.
Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a energia livre e trabalho magnético, além das propriedades magnéticas das fases supercondutora e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fase supercondutora é um diamagneto perfeito. Isso significa que ela exclui completamente o campo magnético do seu interior. A magnetização $ M_s $ dessa fase é dada por:
onde $ V $ é o volume.
Já na fase normal, a magnetização $ M_n $ é zero:
Passo 3
A diferença de trabalho magnético entre as duas fases está relacionada à energia livre do sistema. O trabalho magnético é dado por:
Como queremos comparar as duas fases, vamos considerar que a variação de energia livre é influenciada principalmente pelo termo magnético $ B dM $.
Passo 4
Para determinar quando a fase supercondutora se torna normal, vamos igualar as energias livres das duas fases no limite onde a transição ocorre, ou seja, quando $ B $ atinge $ B_c(T) $.
A energia livre por unidade de volume para a fase supercondutora é:
E para a fase normal:
Onde $ C_s(T) $ e $ C_n(T) $ são os calores específicos das fases supercondutora e normal, respectivamente.
Passo 5
Igualando as duas energias livres na transição:
Aqui, usamos as expressões dadas para os calores específicos $ C_s(T) $ e $ C_n(T) $.
Passo 6
Vamos resolver a equação para $ B_c(T) $:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar a forma de $ B_c(T) $ dada no exercício, assumimos que a transição ocorre quando $ B $ depende de $ T $ de forma que:
Agora, precisamos relacionar $ B_0 $ com os outros parâmetros do problema.
Passo 8
Comparando as duas expressões, identificamos que:
Isso nos dá a expressão para $ B_0 $ em termos dos parâmetros $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ V $ e $ T_C $.
Resposta
Portanto, mostramos que a fase supercondutora se torna normal para campos magnéticos maiores que
onde