A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas T e campo magnético B. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Cs(T)=V alpha T^3 & fase supercondutora Cn(T)=V[beta T^3+gamma T] & fase normal
A existência de um campo magético B resulta em um trabalho magnético d E=T d S+B d M+mu d N, onde M é a magnetização. A fase supercondutora é um diamagneto perfeito, expulsando o campo magnético do seu interior, tal que Ms=-V B /(4 pi) - nas unidades apropriadas. Por outro lado, a fase
metálica normal é não magnética, com Mn=0. Com isto (e o calculado anteriormente), mostre que a fase supercondutora torna-se normal para campos magnéticos maiores que
Bc(T)=B0(1-T^2TC^2)
obtendo também a expressão para B0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas fases de um metal: a supercondutora e a normal. Essas fases têm diferentes comportamentos em relação ao calor específico e à magnetização quando sujeitos a um campo magnético $ B $. A questão quer que a gente mostre que a fase supercondutora deixa de existir quando o campo magnético ultrapassa um certo valor $ B_c(T) $, que depende da temperatura $ T $. Além disso, precisamos encontrar a expressão para $ B_0 $, que é uma constante relacionada a essa transição.
Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a energia livre e trabalho magnético, além das propriedades magnéticas das fases supercondutora e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fase supercondutora é um diamagneto perfeito. Isso significa que ela exclui completamente o campo magnético do seu interior. A magnetização $ M_s $ dessa fase é dada por:
Ms
onde $ V $ é o volume.
Já na fase normal, a magnetização $ M_n $ é zero:
Ms = -V B4 pi

Passo 3

A diferença de trabalho magnético entre as duas fases está relacionada à energia livre do sistema. O trabalho magnético é dado por:
dE = T dS + B dM + mu dN
Como queremos comparar as duas fases, vamos considerar que a variação de energia livre é influenciada principalmente pelo termo magnético $ B dM $.

Passo 4

Para determinar quando a fase supercondutora se torna normal, vamos igualar as energias livres das duas fases no limite onde a transição ocorre, ou seja, quando $ B $ atinge $ B_c(T) $.
A energia livre por unidade de volume para a fase supercondutora é:
B
E para a fase normal:
Bc(T)
Onde $ C_s(T) $ e $ C_n(T) $ são os calores específicos das fases supercondutora e normal, respectivamente.

Passo 5

Igualando as duas energias livres na transição:
Bc(T)^28 pi + V alpha T^3 = V ( beta T^3 + gamma T )
Aqui, usamos as expressões dadas para os calores específicos $ C_s(T) $ e $ C_n(T) $.

Passo 6

Vamos resolver a equação para $ B_c(T) $:
Bc(T)
Simplificando:
Bc(T)^28 pi = V (beta T^3 + gamma T - alpha T^3)

Passo 7

Para encontrar a forma de $ B_c(T) $ dada no exercício, assumimos que a transição ocorre quando $ B $ depende de $ T $ de forma que:
Bc(T)
Agora, precisamos relacionar $ B_0 $ com os outros parâmetros do problema.

Passo 8

Comparando as duas expressões, identificamos que:
B0 = raiz8 pi V (beta - alpha) TC^3 + 8 pi V gamma TC
Isso nos dá a expressão para $ B_0 $ em termos dos parâmetros $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ V $ e $ T_C $.

Resposta

Portanto, mostramos que a fase supercondutora se torna normal para campos magnéticos maiores que
Bc(T) = B0 (1 - T^2TC^2)
onde
B0 = raiz8 pi V (beta - alpha) TC^3 + 8 pi V gamma TC

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