Uma superfície fechada imaginária em forma de cubo de lado
está em uma região onde existe um campo elétrico uniforme
. Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo quando: (a) ele está orientado com duas de suas faces perpendiculares a
e (b) ele sofre um rotação de um ângulo
em torno de um eixo vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo elétrico através de cada face de um cubo quando ele está em um campo elétrico uniforme
. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente o conceito de fluxo elétrico. Para resolver, precisamos lembrar que o fluxo elétrico através de uma superfície é dado por
, onde
é o vetor área da superfície. Vamos analisar as duas situações: (a) cubo orientado com duas faces perpendiculares ao campo elétrico e (b) cubo rotacionado um ângulo
em torno de um eixo vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo elétrico. Imagine que o campo elétrico
esteja passando por uma face do cubo. O fluxo elétrico
é uma medida de quantas “linhas” de campo passam por essa face. Matemáticamente, é calculado pelo produto escalar entre
e
, onde
tem magnitude igual à área da face e direção perpendicular à face.
Passo 3
Para o caso (a), onde o cubo está orientado com duas faces perpendiculares ao campo elétrico, vamos identificar essas faces. Suponha que o campo elétrico
esteja direcionado ao longo do eixo z. Assim, as faces superiores e inferiores do cubo são perpendiculares a
.
Passo 4
Calculando o fluxo através das faces perpendiculares:
- Para a face superior (
apontando para cima): - Para a face inferior (
apontando para baixo):
Passo 5
Agora, para as outras quatro faces laterais, que são paralelas ao campo elétrico, o ângulo entre
e
é 90°, então o cosseno de 90° é zero. Assim, o fluxo através de cada uma dessas faces é zero:
Passo 6
Somando todos os fluxos para o caso (a):
Passo 7
Para o caso (b), onde o cubo é rotacionado um ângulo
em torno de um eixo vertical, o campo elétrico não é mais perpendicular a duas faces. Agora, todas as faces do cubo estão em algum ângulo diferente de 0° ou 90° com o campo elétrico.
Passo 8
No entanto, devido ao Teorema de Gauss, sabemos que para uma superfície fechada em um campo elétrico uniforme e sem cargas internas, o fluxo elétrico total através da superfície é sempre zero, independentemente da orientação da superfície.
Resposta
(a) O fluxo elétrico através de cada face perpendicular é
e
, e através das faces laterais é zero. O fluxo total através do cubo é zero.
(b) Após a rotação, o fluxo total através do cubo continua sendo zero.
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