As superfícies externas de uma placa plana com condutividade térmica e espessura são mantidas a uma mesma temperatura . Esta placa está associada a uma taxa volumétrica de geração de calor . Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior da placa. Sugestão: Localize a origem do sistema de coordenadas no centro da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa plana com condutividade térmica , espessura , e que as duas faces externas estão na mesma temperatura . Também tem uma geração de calor interna com taxa volumétrica . Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia dentro da placa, qual é o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor no interior dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equilibrar a geração e condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. A sugestão foi colocar a origem no centro da placa, então vamos ter no meio, e as extremidades serão . Isso vai facilitar nossos cálculos pela simetria.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
O sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior para menor temperatura.

Passo 4

Como temos geração de calor interna, a equação de equilíbrio térmico em regime estacionário fica:
Substituindo da Lei de Fourier:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 5

Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a expressão da temperatura. Integrando uma vez:
Integrando de novo:

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que nas extremidades da placa, em , a temperatura é . Devido à simetria, a derivada da temperatura no centro ( ) deve ser zero, ou seja, .
Então, substituindo na equação de :
Resolvendo para :
Portanto, a expressão da temperatura é:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o fluxo térmico . Usando a Lei de Fourier:

Passo 8

Por fim, para encontrar a taxa de transferência de calor , integremos o fluxo térmico através da seção transversal:
Isso indica que, devido à simetria e ao equilíbrio, a taxa líquida de transferência de calor é zero.

Resposta

O perfil de temperatura na placa é dado por:
O fluxo térmico é:
E a taxa de transferência de calor no interior da placa é nula, ou seja, .

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