As superfícies externas de uma placa plana com condutividade térmica
e espessura
são mantidas a uma mesma temperatura
. Esta placa está associada a uma taxa volumétrica de geração de calor
. Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior da placa. Sugestão: Localize a origem do sistema de coordenadas no centro da placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa plana com condutividade térmica
, espessura
, e que as duas faces externas estão na mesma temperatura
. Também tem uma geração de calor interna com taxa volumétrica
. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia dentro da placa, qual é o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor no interior dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equilibrar a geração e condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. A sugestão foi colocar a origem no centro da placa, então vamos ter
no meio, e as extremidades serão
. Isso vai facilitar nossos cálculos pela simetria.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que diz que o fluxo de calor
é proporcional ao gradiente de temperatura:
O sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior para menor temperatura.
Passo 4
Como temos geração de calor interna, a equação de equilíbrio térmico em regime estacionário fica:
Substituindo
da Lei de Fourier:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a expressão da temperatura. Integrando uma vez:
Integrando de novo:
Passo 6
Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que nas extremidades da placa, em
, a temperatura é
. Devido à simetria, a derivada da temperatura no centro (
) deve ser zero, ou seja,
.
Então, substituindo
na equação de
:
Resolvendo para
:
Portanto, a expressão da temperatura é:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o fluxo térmico
. Usando a Lei de Fourier:
Passo 8
Por fim, para encontrar a taxa de transferência de calor
, integremos o fluxo térmico através da seção transversal:
Isso indica que, devido à simetria e ao equilíbrio, a taxa líquida de transferência de calor é zero.
Resposta
O perfil de temperatura na placa é dado por:
O fluxo térmico é:
E a taxa de transferência de calor no interior da placa é nula, ou seja,
.
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, and
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