As superfícies externas de uma placa plana com condutividade térmica k e espessura L são mantidas a uma mesma temperatura T. Esta placa está associada a uma taxa volumétrica de geração de calor G. Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior da placa. Sugestão: Localize a origem do sistema de coordenadas no centro da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa plana com condutividade térmica k, espessura L, e que as duas faces externas estão na mesma temperatura T. Também tem uma geração de calor interna com taxa volumétrica G. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia dentro da placa, qual é o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor no interior dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equilibrar a geração e condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. A sugestão foi colocar a origem no centro da placa, então vamos ter x = 0 no meio, e as extremidades serão x = pm L2. Isso vai facilitar nossos cálculos pela simetria.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que diz que o fluxo de calor q é proporcional ao gradiente de temperatura:
q = -k dTdx
O sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior para menor temperatura.

Passo 4

Como temos geração de calor interna, a equação de equilíbrio térmico em regime estacionário fica:
d qdx + G = 0
Substituindo q da Lei de Fourier:
ddx ( -k dTdx ) + G = 0
Simplificando:
-k d^2 Tdx^2 + G = 0
Ou seja:
d^2 Tdx^2 = Gk

Passo 5

Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a expressão da temperatura. Integrando uma vez:
dTdx = Gk x + C1
Integrando de novo:
T(x) = G2k x^2 + C1 x + C2

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que nas extremidades da placa, em x = pm L2, a temperatura é T. Devido à simetria, a derivada da temperatura no centro ( x=0) deve ser zero, ou seja, C1 = 0.
Então, substituindo x = L2 na equação de T(x):
T = G2k ( L2 )^2 + C2
Resolvendo para C2:
C2 = T - G L^28k
Portanto, a expressão da temperatura é:
T(x) = G2k x^2 + T - G L^28k
Simplificando:
T(x) = T - G8k ( L^2 - 4x^2 )

Passo 7

Agora, vamos encontrar o fluxo térmico q(x). Usando a Lei de Fourier:
q(x) = -k dTdx = -k ( Gk x ) = -G x

Passo 8

Por fim, para encontrar a taxa de transferência de calor Q, integremos o fluxo térmico através da seção transversal:
Q = integral-L/2^L/2 q(x) dx = integral-L/2^L/2 (-G x) dx = 0
Isso indica que, devido à simetria e ao equilíbrio, a taxa líquida de transferência de calor é zero.

Resposta

O perfil de temperatura na placa é dado por:
T(x) = T - G8k ( L^2 - 4x^2 )
O fluxo térmico é:
q(x) = -G x
E a taxa de transferência de calor no interior da placa é nula, ou seja, Q = 0.

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