(2.28 do Lienhard) A 1 kW commercial electric heating rod, 8 mm in diameter and 0.3 m long, is to be used in a highly corrosive gaseous environment. Therefore, it has to be provided with a cylindrical sheath of fireclay. The gas flows by at , and is outside the sheath. The surface of the heating rod cannot exceed . Set the maximum sheath thickness and the outer temperature of the fireclay. [Hint: use heat flux and temperature boundary conditions to get the temperature distribution. Then use the additional convective boundary condition to obtain the sheath thickness.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor! Temos um fio de aquecimento elétrico comercial de 1 kW, com diâmetro de 8 mm e comprimento de 0,3 m. Esse fio vai ser usado num ambiente gasoso altamente corrosivo, então precisamos colocá-lo dentro de uma camada cilíndrica de fogo-argila (fireclay). A temperatura do gás que passa por fora é de e o coeficiente de transferência de calor por convecção é . A temperatura na superfície do fio de aquecimento não pode passar de .
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de calor, distribuição de temperatura e condições de contorno térmicas para encontrar a espessura máxima da camada de fireclay e a temperatura na parte externa dessa camada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o fio de aquecimento gera calor que precisa ser dissipada para o ambiente através da camada de fireclay. A potência do fio é de 1 kW, ou seja, .
A transferência de calor em regime estacionário para uma geometria cilíndrica é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a potência,
  • é o comprimento do fio,
  • é a condutividade térmica da fireclay,
  • é a temperatura na superfície do fio de aquecimento ( ),
  • é a temperatura do ambiente ( ),
  • é o raio do fio de aquecimento,
  • é o raio externo da camada de fireclay.
Mas nesse caso, como a camada de fireclay também tem transferência de calor por convecção na parte externa, precisamos considerar essa resistência adicional.

Passo 3

Vamos modelar o sistema como duas resistências térmicas em série:
  1. Condução através da fireclay.
  2. Convecção do calor para o ambiente.
A resistência térmica da condução para a camada de fireclay é:
E a resistência térmica da convecção é:
A soma dessas resistências é igual à resistência total do sistema:
E a potência está relacionada à diferença de temperatura pela fórmula:

Passo 4

Agora, vamos substituir as resistências e isolar :
Simplificando:
Essa equação é não linear em , então vamos considerar que a resistência por condução é dominante para encontrar uma aproximação inicial. Assim, ignoramos a resistência por convecção:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos calcular :
Dados:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • da fireclay (suponhamos , valor típico, mas o exercício não fornece).
Substituindo:
Então:
Portanto:
A espessura da camada de fireclay é:

Resposta

A espessura máxima da camada de fireclay é de aproximadamente 10,5 mm e a temperatura na parte externa da fireclay é de cerca de .

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