Supõe-se que 5% das peças produzidas em um processo
de produção sejam defeituosas. Para uma amostra aleatória de n=100 peças, 10
foram achadas defeituosas. Testar a hipótese que a proporçäo populacional seja maior que 5% a um nível de significância de 5 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que 5% das peças produzidas são defeituosas. Queremos testar se, na realidade, essa proporção é maior que 5%. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para proporções. Precisamos saber a proporção amostral, o tamanho da amostra e o nível de significância, que aqui é de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de peças defeituosas é 5%, ou seja, p = 0.05.
  • Hipótese Alternativa ( H1): A proporção de peças defeituosas é maior que 5%, ou seja, p > 0.05.

Passo 3

Vamos calcular a proporção amostral. Na amostra de n=100 peças, 10 foram defeituosas. Então, a proporção amostral ( p) é:
p = 10100 = 0.10

Passo 4

Agora, precisamos calcular o erro padrão da proporção, que é a medida de quanta variação esperamos na proporção amostral. A fórmula para o erro padrão ( Ep) é:
Ep = raizp(1 - p)n = raiz0.05 times 0.95100 approx 0.0218

Passo 5

Com o erro padrão, calculamos o estatístico de teste (z), que indica quantos erros padrões nossa proporção amostral está distante da hipótese nula:
z = p - pEp = 0.10 - 0.050.0218 approx 2.29

Passo 6

Agora, consultamos a tabela z ou usamos uma calculadora para encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 5% em um teste unilateral. O valor crítico para z com alpha = 0.05 é aproximadamente 1.645.

Passo 7

Vamos comparar o nosso valor de z calculado com o valor crítico:
  • Se z > 1.645, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se z <= 1.645, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 2.29 > 1.645.

Resposta

Como o valor de z approx 2.29 é maior que o valor crítico de 1.645, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a proporção populacional de peças defeituosas é maior que 5% com um nível de significância de 5%.

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