Uma loja de roupas vende três tipos de camisetas aos preços de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tipo:
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12 | 15 | 20 |
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0,5 | 0,2 | 0,3 |
b) Obtenha a distribuição da média e da soma (total).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma loja que vende três tipos de camisetas com preços de R$12, R$15 e R$20. As proporções de vendas de cada tipo são dadas por $ P(X = x) $ com valores 0,5, 0,2 e 0,3, respectivamente. O conteúdo que vamos utilizar aqui é Estatística, especificamente a distribuição de variáveis aleatórias. Precisamos encontrar a distribuição da média e da soma das vendas dessas camisetas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa a distribuição da soma e da média. Suponha que realizamos várias vendas dessas camisetas. A soma das vendas será o total arrecadado, e a média será o valor médio por venda. Para encontrar essas distribuições, precisamos primeiro calcular a média ($ \mu
\sigma $) da variável aleatória $ X $, que representa o preço das camisetas.
Passo 3
Calculando a média ($ \mu $) de $ X $:
Então, a média do preço das camisetas é R$15.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância ($ \sigma^2 $) de $ X $:
Primeiro, calculamos $ (x_i - \mu)^2 $ para cada tipo:
- Para R$12: $ (12 - 15)^2 = 9 $
- Para R$15: $ (15 - 15)^2 = 0 $
- Para R$20: $ (20 - 15)^2 = 25 $
Agora, multiplicamos por as probabilidades:
Então, a variância é 12, e o desvio padrão ($ \sigma $) é $ \sqrt{12} \approx 3,464 $.
Passo 5
Considerando que cada venda é independente, se fizermos $ n $ vendas, a soma das vendas ($ S_n $) terá média $ E(S_n) = n \cdot \mu $ e variância $ Var(S_n) = n \cdot \sigma^2
\overline{X}_n $) terá média $ E(\overline{X}_n) = \mu $ e variância $ Var(\overline{X}_n) = \sigma^2 / n $.
Passo 6
Portanto, a distribuição da soma das vendas $ S_n $ é aproximadamente normal com média $ n \cdot 15 $ e variância $ 12n $. Já a distribuição da média das vendas $ \overline{X}_n $ é aproximadamente normal com média 15 e variância $ 12/n $.
Resposta
A distribuição da soma das vendas é aproximadamente normal com média $ 15n $ e variância $ 12n $. A distribuição da média das vendas é aproximadamente normal com média 15 e variância $ \dfrac{12}{n} $.