Uma loja de roupas vende três tipos de camisetas aos preços de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tipo:
X=x 12 15 20
P(X=x) 0,5 0,2 0,3
b) Obtenha a distribuição da média e da soma (total).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma loja que vende três tipos de camisetas com preços de R$12, R$15 e R$20. As proporções de vendas de cada tipo são dadas por $ P(X = x) $ com valores 0,5, 0,2 e 0,3, respectivamente. O conteúdo que vamos utilizar aqui é Estatística, especificamente a distribuição de variáveis aleatórias. Precisamos encontrar a distribuição da média e da soma das vendas dessas camisetas.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa a distribuição da soma e da média. Suponha que realizamos várias vendas dessas camisetas. A soma das vendas será o total arrecadado, e a média será o valor médio por venda. Para encontrar essas distribuições, precisamos primeiro calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da variável aleatória $ X $, que representa o preço das camisetas.

Passo 3

Calculando a média ($ \mu $) de $ X $:
mu
X
Então, a média do preço das camisetas é R$15.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância ($ \sigma^2 $) de $ X $:
sigma^2
Primeiro, calculamos $ (x_i - \mu)^2 $ para cada tipo:
  • Para R$12: $ (12 - 15)^2 = 9 $
  • Para R$15: $ (15 - 15)^2 = 0 $
  • Para R$20: $ (20 - 15)^2 = 25 $
Agora, multiplicamos por as probabilidades:
X
Então, a variância é 12, e o desvio padrão ($ \sigma $) é $ \sqrt{12} \approx 3,464 $.

Passo 5

Considerando que cada venda é independente, se fizermos $ n $ vendas, a soma das vendas ($ S_n $) terá média $ E(S_n) = n \cdot \mu $ e variância $ Var(S_n) = n \cdot \sigma^2 n é \overline{X}_n $) terá média $ E(\overline{X}_n) = \mu $ e variância $ Var(\overline{X}_n) = \sigma^2 / n $.

Passo 6

Portanto, a distribuição da soma das vendas $ S_n $ é aproximadamente normal com média $ n \cdot 15 $ e variância $ 12n $. Já a distribuição da média das vendas $ \overline{X}_n $ é aproximadamente normal com média 15 e variância $ 12/n $.

Resposta

A distribuição da soma das vendas é aproximadamente normal com média $ 15n $ e variância $ 12n $. A distribuição da média das vendas é aproximadamente normal com média 15 e variância $ \dfrac{12}{n} $.

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