Suponha que 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
b) exatamente 2 erros.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente tem um livro com 500 páginas e sabe que há 400 erros de impressão espalhados aleatoriamente por essas páginas. O que queremos descobrir é a probabilidade de que uma página específica tenha exatamente 2 erros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente aqueles relacionados à distribuição de eventos raros em espaços grandes, como a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a taxa média de erros por página. Sabemos que há 400 erros distribuídos em 500 páginas. Então, a média de erros por página ( lambda) é:
lambda = 400 erros500 páginas = 0,8 erros por página áá

Passo 3

A distribuição de Poisson é perfeita para modelar esse tipo de situação, onde queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos (erros) ocorrer em um intervalo fixo (uma página), dado que os eventos ocorrem com uma média conhecida e independentemente uns dos outros. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • P(k; lambda) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • lambda é a média de eventos por intervalo,
  • e é a base do logaritmo natural (~2,71828),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de exatamente 2 erros em uma página ( k = 2) com uma média de 0,8 erros por página ( lambda = 0,8). Vamos substituindo esses valores na fórmula:
P(2; 0,8) = 0,8^2 cdot e^-0,82! = 0,64 cdot e^-0,82

Passo 5

Agora, calculamos o valor de e^-0,8. Sabemos que e^-0,8 approx 0,4493. Substituindo de volta na equação:
P(2; 0,8) = 0,64 cdot 0,44932 = 0,28762 = 0,1438

Resposta

A probabilidade de que uma dada página contenha exatamente 2 erros é aproximadamente 14,38%.

Exercícios relacionados