Suponha que 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
b) exatamente 2 erros.
b) exatamente 2 erros.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente tem um livro com 500 páginas e sabe que há 400 erros de impressão espalhados aleatoriamente por essas páginas. O que queremos descobrir é a probabilidade de que uma página específica tenha exatamente 2 erros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente aqueles relacionados à distribuição de eventos raros em espaços grandes, como a distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a taxa média de erros por página. Sabemos que há 400 erros distribuídos em 500 páginas. Então, a média de erros por página (
) é:
Passo 3
A distribuição de Poisson é perfeita para modelar esse tipo de situação, onde queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos (erros) ocorrer em um intervalo fixo (uma página), dado que os eventos ocorrem com uma média conhecida e independentemente uns dos outros. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos, -
é a média de eventos por intervalo, -
é a base do logaritmo natural (~2,71828), -
é o fatorial de .
Passo 4
No nosso caso, queremos a probabilidade de exatamente 2 erros em uma página (
) com uma média de 0,8 erros por página (
). Vamos substituindo esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, calculamos o valor de
. Sabemos que
. Substituindo de volta na equação:
Resposta
A probabilidade de que uma dada página contenha exatamente 2 erros é aproximadamente 14,38%.