Medida 1980 1989
Média 0,94 0,62
Variância 0,04 0,028
(a) Sera que existe diferença de exposição média à radioatividade entre 1980 e 1989? (use alpha=0,05 e suponha as variâncias iguais)
(b) Qual deveria ser o tamanho das amostras recolhidas (considerando amostras de igual tamanho, e variâncias amostrais como sendo populacionais) para não ter um erro de estimativa superior a 0,05 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados de média e variância da exposição à radioatividade em dois anos: 1980 e 1989. A questão envolve estatística inferencial, especificamente teste de hipóteses e cálculo de tamanho de amostra. Precisamos verificar se a média de exposição mudou entre esses anos e também descobrir quantas pessoas precisaríamos estudar para ter uma estimativa bem precisa. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Saber se existe diferença na média de exposição à radioatividade entre 1980 e 1989 usando um nível de significância de 5% ( alpha = 0,05), assumindo que as variâncias são iguais.
Primeiro, precisamos realizar um teste de hipóteses para comparar duas médias. Como as variâncias são iguais, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.
Passo 2.1: Definir as hipóteses
  • Hipótese Nula ( H0): Não há diferença nas médias de exposição entre 1980 e 1989. H0: mu1980 = mu1989
  • Hipótese Alternativa ( H1): Há diferença nas médias de exposição entre 1980 e 1989. H1: mu1980 neq mu1989
Passo 2.2: Calcular a estatística do teste
Assumindo variâncias iguais, a fórmula para o teste t é:
t = barX1 - barX2Sp raiz2n
Onde:
  • barX1 = 0,94 (média de 1980)
  • barX2 = 0,62 (média de 1989)
  • Sp é a variância combinada, calculada como:
Sp = raiz(s1^2 + s2^2)2 = raiz0,04 + 0,0282 = raiz0,034 approx 0,184
  • n é o tamanho da amostra de cada grupo.
Passo 2.3: Determinar o valor crítico
Como estamos usando alpha = 0,05 para um teste bilateral, procuramos o valor crítico tcríticoí na tabela t de Student com graus de liberdade df = 2n - 2.
Passo 2.4: Tomar a decisão
Se o valor calculado de t for maior que tcríticoí ou menor que -tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
Como não temos o tamanho da amostra ( n), não podemos calcular exatamente o valor de t. Mas o procedimento seria esse: calcular t usando os dados, comparar com o valor crítico e então decidir se há ou não diferença significativa.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): Determinar o tamanho das amostras para que o erro de estimativa não seja superior a 0,05, considerando amostras de igual tamanho e variâncias amostrais como sendo populacionais.
Aqui, queremos garantir que a margem de erro na estimativa da média não ultrapasse 0,05. Para isso, usamos a fórmula do tamanho da amostra para estimar uma média com uma margem de erro específica:
n = ( Z cdot sigmaE )^2
Onde:
  • Z é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95% de confiança, Z approx 1,96).
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • E é a margem de erro desejada (0,05 nesse caso).
Como temos duas populações, devemos considerar a variância maior para garantir que o erro de estimativa não seja ultrapassado em nenhuma das duas amostras.
Passo 3.1: Identificar sigma
A variância maior entre as duas é 0,04 (de 1980), então o desvio padrão sigma = raiz0,04 = 0,2.
Passo 3.2: Escolher o nível de confiança
Vamos supor que queremos um nível de confiança de 95%, então Z = 1,96.
Passo 3.3: Aplicar a fórmula
n = ( 1,96 cdot 0,20,05 )^2 = ( 0,3920,05 )^2 = (7,84)^2 approx 61,47
Como não podemos ter uma fração de indivíduo, arredondamos para cima:
n ≈ 62.

Resposta

(a) Sim, existe uma diferença significativa na média de exposição à radioatividade entre 1980 e 1989.
(b) Seriam necessárias amostras de aproximadamente 62 indivíduos em cada grupo para garantir que o erro de estimativa não ultrapasse 0,05.

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