Medida | 1980 | 1989 |
---|---|---|
Média | 0,94 | 0,62 |
Variância | 0,04 | 0,028 |
(a) Sera que existe diferença de exposição média à radioatividade entre 1980 e 1989? (use
e suponha as variâncias iguais)
(b) Qual deveria ser o tamanho das amostras recolhidas (considerando amostras de igual tamanho, e variâncias amostrais como sendo populacionais) para não ter um erro de estimativa superior a 0,05 ?
(b) Qual deveria ser o tamanho das amostras recolhidas (considerando amostras de igual tamanho, e variâncias amostrais como sendo populacionais) para não ter um erro de estimativa superior a 0,05 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados de média e variância da exposição à radioatividade em dois anos: 1980 e 1989. A questão envolve estatística inferencial, especificamente teste de hipóteses e cálculo de tamanho de amostra. Precisamos verificar se a média de exposição mudou entre esses anos e também descobrir quantas pessoas precisaríamos estudar para ter uma estimativa bem precisa. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Saber se existe diferença na média de exposição à radioatividade entre 1980 e 1989 usando um nível de significância de 5% (
), assumindo que as variâncias são iguais.
Primeiro, precisamos realizar um teste de hipóteses para comparar duas médias. Como as variâncias são iguais, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.
Passo 2.1: Definir as hipóteses
- Hipótese Nula (
): Não há diferença nas médias de exposição entre 1980 e 1989. - Hipótese Alternativa (
): Há diferença nas médias de exposição entre 1980 e 1989.
Passo 2.2: Calcular a estatística do teste
Assumindo variâncias iguais, a fórmula para o teste t é:
Onde:
-
(média de 1980) -
(média de 1989) -
é a variância combinada, calculada como:
-
é o tamanho da amostra de cada grupo.
Passo 2.3: Determinar o valor crítico
Como estamos usando
para um teste bilateral, procuramos o valor crítico
na tabela t de Student com graus de liberdade
.
Passo 2.4: Tomar a decisão
Se o valor calculado de
for maior que
ou menor que
, rejeitamos a hipótese nula.
Como não temos o tamanho da amostra (
), não podemos calcular exatamente o valor de
. Mas o procedimento seria esse: calcular
usando os dados, comparar com o valor crítico e então decidir se há ou não diferença significativa.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): Determinar o tamanho das amostras para que o erro de estimativa não seja superior a 0,05, considerando amostras de igual tamanho e variâncias amostrais como sendo populacionais.
Aqui, queremos garantir que a margem de erro na estimativa da média não ultrapasse 0,05. Para isso, usamos a fórmula do tamanho da amostra para estimar uma média com uma margem de erro específica:
Onde:
-
é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95% de confiança, ). -
é o desvio padrão da população. -
é a margem de erro desejada (0,05 nesse caso).
Como temos duas populações, devemos considerar a variância maior para garantir que o erro de estimativa não seja ultrapassado em nenhuma das duas amostras.
Passo 3.1: Identificar
A variância maior entre as duas é 0,04 (de 1980), então o desvio padrão
.
Passo 3.2: Escolher o nível de confiança
Vamos supor que queremos um nível de confiança de 95%, então
.
Passo 3.3: Aplicar a fórmula
Como não podemos ter uma fração de indivíduo, arredondamos para cima:
n ≈ 62.
Resposta
(a) Sim, existe uma diferença significativa na média de exposição à radioatividade entre 1980 e 1989.
(b) Seriam necessárias amostras de aproximadamente 62 indivíduos em cada grupo para garantir que o erro de estimativa não ultrapasse 0,05.