(a) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento médio amostral do funcionário 1 seja superior ao tempo de atendimento médio do funcionário 2 , sabendo-se que:
i. Os desvios padrão populacionais são conhecidos: sigma1=8 e sigma2=16 minutos?
ii. Os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente?
(b) Pronuncie-se quanto às diferencias obtidas no item acima.
© Supondo que conhece a informação da primeira parte do item 1 acima, qual é a probabilidade da variância amostral no tempo de atendimento do funcionário 2 seja inferior à do funcionário 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), precisamos descobrir a probabilidade de que o tempo médio de atendimento do funcionário 1 seja maior que o do funcionário 2. Para isso, vamos lidar com duas situações diferentes: uma onde os desvios padrão populacionais são conhecidos e outra onde apenas os desvios padrão amostrais são observados. A matéria aqui é sobre distribuições amostrais da média e como comparar duas médias. Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e, possivelmente, distribuição t.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o item (a)i, onde os desvios padrão populacionais são conhecidos: σ₁ = 8 e σ₂ = 16 minutos. Quando os desvios padrão das populações são conhecidos, podemos usar a distribuição normal para comparar as médias.

Passo 3

A diferença entre as médias amostrais, X1 - X2, também seguirá uma distribuição normal. A média dessa diferença será zero (assumindo que não há diferença real entre os tempos de atendimento), e o desvio padrão será dado por:
sigmaX1 - X2 = raiz(sigma1^2n1) + (sigma2^2n2)
Aqui, n1 e n2 são os tamanhos das amostras dos funcionários 1 e 2, respectivamente. Como os tamanhos das amostras não foram fornecidos, vamos supor que ambos são grandes o suficiente para usar a aproximação normal.

Passo 4

Com a diferença das médias seguindo uma distribuição normal, queremos encontrar a probabilidade de X1 > X2, que é o mesmo que X1 - X2 > 0. Isso equivale a calcular a área à direita de zero na distribuição da diferença das médias.

Passo 5

Como a média da diferença é zero, a probabilidade de X1 - X2 > 0 será de 50%, já que a distribuição é simétrica em torno de zero.

Passo 6

Agora, vamos para o item (a)ii, onde os desvios padrão amostrais observados são 8 e 16 minutos. Aqui, não conhecemos os desvios padrão populacionais, então precisamos usar a distribuição t para comparar as médias.

Passo 7

Usando a distribuição t, a estatística de teste é dada por:
t = X1 - X2raiz(s1^2n1) + (s2^2n2)
onde s1 e s2 são os desvios padrão amostrais. Novamente, sem os tamanhos das amostras, não podemos calcular um valor exato, mas a abordagem seria comparar o valor calculado de t com os valores críticos da distribuição t para determinar a probabilidade.

Passo 8

Passando para o item (b), precisamos comentar sobre as diferenças obtidas nos itens (a)i e (a)ii. Quando conhecemos os desvios padrão populacionais, a comparação das médias é mais direta e geralmente mais precisa, resultando em uma probabilidade de 50%. Já quando usamos os desvios padrão amostrais, a incerteza aumenta e a distribuição t nos dá uma maneira de levar isso em conta, resultando em uma análise mais conservadora.

Passo 9

Finalmente, no item ©, queremos encontrar a probabilidade de que a variância amostral do tempo de atendimento do funcionário 2 seja menor que a do funcionário 1, usando as informações da primeira parte do item 1 (desvios padrão populacionais conhecidos).

Passo 10

Para comparar variâncias, usamos a distribuição F. A estatística F é dada por:
F = s2^2s1^2
onde s2^2 e s1^2 são as variâncias amostrais dos funcionários 2 e 1, respectivamente. A probabilidade de s2^2 < s1^2 é a mesma que F < 1.

Resposta

A probabilidade de que o tempo médio de atendimento do funcionário 1 seja superior ao do funcionário 2 é de 50% quando os desvios padrão populacionais são conhecidos. Quando apenas os desvios padrão amostrais são observados, a probabilidade depende do tamanho das amostras e deve ser calculada usando a distribuição t. Além disso, a comparação das variâncias amostrais utilizando a distribuição F permite determinar a probabilidade de que a variância do funcionário 2 seja menor que a do funcionário 1.

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