Suponha que a aceitação de um lote de 1000 peças ocorre apenas se o comprimento médio de 10 peças, retiradas ao acaso do lote, estiver entre 5 e 10 cm . Sabe-se pelas especificações do fabricante que o comprimento das peças é uma variável aleatória com distribuição Normal de média
e variância de
. Qual a probabilidade do lote ser aceito?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um lote de 1000 peças e a aceitação desse lote depende do comprimento médio de 10 peças retiradas aleatoriamente. Para o lote ser aceito, esse comprimento médio precisa estar entre 5 cm e 10 cm. Sabemos que o comprimento das peças segue uma distribuição Normal com média de
e variância de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição da média amostral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando tiramos uma amostra de 10 peças, o comprimento médio dessa amostra também segue uma distribuição Normal. A média dessa distribuição será a mesma média da população, que é
. A variância da média amostral é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então, vamos calcular essa variância:
Passo 3
Com a média e a variância da média amostral conhecidas, podemos dizer que a média amostral $ \bar{X} $ segue uma distribuição Normal de média
e desvio padrão
. Para encontrar a probabilidade de a média estar entre 5 cm e 10 cm, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
Onde:
-
é o valor que queremos padronizar (5 cm e 10 cm), -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 4
Vamos calcular o z para 5 cm:
E para 10 cm:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre -1,767 e 1,767. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
Passo 6
A probabilidade de
estar entre -1,767 e 1,767 é:
Resposta
A probabilidade do lote ser aceito é de aproximadamente 92,24%.