Suponha que a aceitação de um lote de 1000 peças ocorre apenas se o comprimento médio de 10 peças, retiradas ao acaso do lote, estiver entre 5 e 10 cm . Sabe-se pelas especificações do fabricante que o comprimento das peças é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 7,5 cm e variância de 20 cm^2. Qual a probabilidade do lote ser aceito?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um lote de 1000 peças e a aceitação desse lote depende do comprimento médio de 10 peças retiradas aleatoriamente. Para o lote ser aceito, esse comprimento médio precisa estar entre 5 cm e 10 cm. Sabemos que o comprimento das peças segue uma distribuição Normal com média de 7,5 , cm e variância de 20 , cm^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando tiramos uma amostra de 10 peças, o comprimento médio dessa amostra também segue uma distribuição Normal. A média dessa distribuição será a mesma média da população, que é 7,5 , cm. A variância da média amostral é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então, vamos calcular essa variância:
Variância da média amostral = 2010 = 2 , cm^2 âé

Passo 3

Com a média e a variância da média amostral conhecidas, podemos dizer que a média amostral $ \bar{X} $ segue uma distribuição Normal de média barX e desvio padrão 7,5 , cm. Para encontrar a probabilidade de a média estar entre 5 cm e 10 cm, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
raiz2
Onde:
  • z = x - musigma é o valor que queremos padronizar (5 cm e 10 cm),
  • x é a média,
  • mu = 7,5 , cm é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z para 5 cm:
z1 = 5 - 7,51,414 approx -2,51,414 approx -1,767
E para 10 cm:
z2 = 10 - 7,51,414 approx 2,51,414 approx 1,767

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z estar entre -1,767 e 1,767. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
P(Z < 1,767) approx 0,9612
P(Z < -1,767) approx 0,0388

Passo 6

A probabilidade de Z estar entre -1,767 e 1,767 é:
P(-1,767 < Z < 1,767) = P(Z < 1,767) - P(Z < -1,767) approx 0,9612 - 0,0388 = 0,9224

Resposta

A probabilidade do lote ser aceito é de aproximadamente 92,24%.

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