Suponha que a aceleração a de uma partícula movendo-se com velocidade uniforme circular, em um círculo de raio r é proporcional a uma potência de r, r^n e uma potência da velocidade v, v^m. Como podemos determinar os valores de n e m ? (Resposta: Usando analise dimensional ou de unidades podemos determinar n=-1, m=2 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um movimento circular uniforme, ou seja, ela está seguindo um caminho circular com velocidade constante. A aceleração dessa partícula, que chamaremos de $ a $, está relacionada ao raio do círculo $ r $ e à velocidade $ v $ através de uma relação de proporcionalidade $ a \propto r^{n} v^{m} $. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ n $ e $ m $. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as unidades das grandezas estão compatíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expressão da aceleração centrípeta em um movimento circular uniforme. A aceleração centrípeta $ a $ é dada por:
a
Essa fórmula nos mostra como $ a $ está relacionada à velocidade $ v $ e ao raio $ r $.

Passo 3

Agora, vamos comparar a expressão que temos com a que a questão propõe: $ a \propto r^{n} v^{m} $. Queremos que essas duas relações sejam equivalentes, ou seja:
a propto r^n v^m

Passo 4

Para que as duas expressões sejam proporcionais, os expoentes das variáveis $ r $ e $ v $ devem ser iguais em ambas as expressões. Vamos igualar os expoentes correspondentes:
Para $ r $:
r
Para $ v $:
v

Passo 5

Portanto, ao comparar as duas expressões e igualar os expoentes, encontramos que:
n = -1 e m = 2

Resposta

Os valores são $ n = -1 $ e $ m = 2 $.

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