Suponha que a aceleração
de uma partícula movendo-se com velocidade uniforme circular, em um círculo de raio
é proporcional a uma potência de
e uma potência da velocidade
. Como podemos determinar os valores de
e
? (Resposta: Usando analise dimensional ou de unidades podemos determinar
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um movimento circular uniforme, ou seja, ela está seguindo um caminho circular com velocidade constante. A aceleração dessa partícula, que chamaremos de $ a $, está relacionada ao raio do círculo $ r $ e à velocidade $ v $ através de uma relação de proporcionalidade $ a \propto r^{n} v^{m} $. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ n $ e $ m $. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as unidades das grandezas estão compatíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expressão da aceleração centrípeta em um movimento circular uniforme. A aceleração centrípeta $ a $ é dada por:
Essa fórmula nos mostra como $ a $ está relacionada à velocidade $ v $ e ao raio $ r $.
Passo 3
Agora, vamos comparar a expressão que temos com a que a questão propõe: $ a \propto r^{n} v^{m} $. Queremos que essas duas relações sejam equivalentes, ou seja:
Passo 4
Para que as duas expressões sejam proporcionais, os expoentes das variáveis $ r $ e $ v $ devem ser iguais em ambas as expressões. Vamos igualar os expoentes correspondentes:
Para $ r $:
Para $ v $:
Passo 5
Portanto, ao comparar as duas expressões e igualar os expoentes, encontramos que:
Resposta
Os valores são $ n = -1 $ e $ m = 2 $.