Em um dado planeta, em uma queda livre partindo do repouso um corpo gasta metade do tempo que gastaria na Terra para cair da mesma altura. Quanto vale a aceleração da gravidade nesse planeta?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre queda livre de um corpo em dois planetas diferentes: a Terra e outro planeta desconhecido. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração da gravidade nesse outro planeta, sabendo que o corpo leva metade do tempo para cair da mesma altura que levaria na Terra. Vamos precisar usar as fórmulas de movimento uniformemente acelerado, especialmente aquelas que descrevem a queda livre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a distância da queda ($ s
g
t $) quando o corpo parte do repouso:
Essa fórmula nos diz que a distância percorrida em queda livre depende do tempo ao quadrado e da aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a queda na Terra. Vamos chamar a aceleração da gravidade na Terra de $ g_{Terra} $ e o tempo de queda de $ t_{Terra} $. Usando a fórmula acima:
Isso representa a distância que o corpo percorre ao cair na Terra.
Passo 4
Em seguida, vamos analisar a queda no outro planeta. A aceleração da gravidade nesse planeta é $ g_{Planeta} $ e o tempo de queda é metade do tempo na Terra, ou seja, $ t_{Planeta} = \frac{t_{Terra}}{2} $. Usando novamente a fórmula da queda livre:
Aqui, a distância da queda é a mesma em ambos os planetas.
Passo 5
Como a distância $ s $ é a mesma nos dois casos, podemos igualar as duas equações:
Podemos simplificar essa equação cancelando o $ \frac{1}{2} $ dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Observamos que $ t_{Terra}^2 $ aparece nos dois lados, então podemos dividir ambos os lados por $ t_{Terra}^2 $:
Passo 7
Para encontrar $ g_{Planeta} $, basta multiplicar ambos os lados da equação por 4:
Sabemos que a aceleração da gravidade na Terra é aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $, então:
Resposta
A aceleração da gravidade no outro planeta é $ 39,2 , m/s^2 $.